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第1章 绪论1

1.1基本概念1

1.1.1定义与例子1

1.1.2叠加原理3

1.2定解问题5

1.2.1定解条件与定解问题5

1.2.2定解问题的适定性6

1.3二阶半线性方程的分类与标准型7

1.3.1多个自变量的方程8

1.3.2两个自变量的方程10

1.3.3方程化为标准型13

习题1.18

第2章 一阶拟线性方程22

2.1一般理论22

2.1.1特征曲线与积分曲面22

2.1.2初值问题24

2.1.3例题27

2.2传输方程32

2.2.1齐次方程的初值问题行波解33

2.2.2非齐次传输方程34

习题2.35

第3章波动方程36

3.1一维波动方程的初值问题37

3.1.1 d'Alembert公式反射法37

3.1.2依赖区域决定区域 影响区域40

3.1.3初值问题的弱解41

3.2一维波动方程的初边值问题42

3.2.1齐次方程 特征线法43

3.2.2齐次方程分离变量法45

3.2.3非齐次方程特征函数展开法48

3.3 Sturm-Liouville特征值问题51

3.3.1特征函数的性质53

3.3.2特征值与特征函数的存在性54

3.3.3特征函数系的完备性58

3.4高维波动方程的初值问题66

3.4.1球面平均法Kirchho公式66

3.4.2降维法*Poisson公式70

3.4.3非齐次方程Duhamel原理72

3.4.4 Huygens原理 波的弥散74

3.5能量法解的唯一性与稳定性76

3.5.1能量等式初边值问题解的唯一性77

3.5.2能量不等式初边值问题解的稳定性78

3.5.3初值问题解的唯一性81

习题3.83

第4章 热传导方程91

4.1初值问题92

4.1.1 Fourier变换及其性质93

4.1.2解初值问题95

4.1.3解的存在性97

4.2最大值原理及其应用100

4.2.1最大值原理100

4.2.2初边值问题解的唯一性与稳定性101

4.2.3初值问题解的唯一性与稳定性102

4.2.4例题104

4.3强最大值原理110

习题4114

第5章位势方程120

5.1基本解120

5.1.1基本解Green公式121

5.1.2平均值等式123

5.1.3最大最小值原理及其应用124

5.2 Green函数127

5.2.1 Green函数的导出及其性质127

5.2.2球上的Green函数Poisson积分公式129

5.2.3上半空间上的Green函数132

5.2.4球上Dirichlet问题解的存在性133

5.2.5能量法136

5.3调和函数的基本性质137

5.3.1逆平均值性质137

5.3.2 Harnack不等式138

5.3.3 Liouville定理139

5.3.4奇点可去性定理140

5.3.5正则性140

5.3.6微商的局部估计142

5.3.7解析性143

5.3.8例题144

5.4 Hopf最大值原理及其应用149

5.4.1 Hopf最大值原理149

5.4.2应用151

5.5位势方程的弱解152

5.5.1伴随微分算子与伴随边值问题152

5.5.2弱微商及其简单性质154

5.5.3 Sobolev空间H1（Ω）与H10（Ω）158

5.5.4弱解的存在唯一性160

习题5.163

第6章 变分法与边值问题169

6.1边值问题与算子方程169

6.1.1薄膜的横振动与最小位能原理169

6.1.2正算子与算子方程170

6.1.3正定算子 弱解存在性174

6.2 Laplace算子的特征值问题180

6.2.1特征值与特征函数的存在性180

6.2.2特征值与特征函数的性质184

习题6186

第7章 特征理论偏微分方程组189

7.1方程的特征理论189

7.1.1弱间断解与弱间断面189

7.1.2特征方程与特征曲面191

7.2方程组的特征理论195

7.2.1弱间断解与特征线196

7.2.2狭义双曲型方程组的标准型198

7.3双曲型方程组的Cauchy问题200

7.3.1解的存在性与唯一性200

7.3.2解的稳定性204

7.4 Cauchy-Kovalevskaja定理204

7.4.1 Cauchy-Kovalevskaja型方程组205

7.4.2 Cauchy问题的化简205

7.4.3强函数207

7.4.4 Cauchy-Kovalevskaja定理的证明208

习题7211

第8章 广义函数与基本解216

8.1基本空间216

8.1.1引言216

8.1.2基本空间?（RN）和（RN）218

8.1.3基本空间？（RN）及其上的Fourier变换220

8.2广义函数空间227

8.2.1概念与例子227

8.2.2广义函数的收敛性228

8.2.3自变量的变换230

8.2.4广义函数的微商与乘子232

8.2.5广义函数的支集234

8.2.6广义函数的卷积236

8.2.7 ?空间上的Fourier变换241

8.3基本解244

8.3.1基本解的概念244

8.3.2热传导方程及其Cauchy问题的基本解247

8.3.3波动方程Cauchy问题的基本解249

8.3.4调和、重调和及多调和算子的基本解251

习题8253

索引258