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引言1

第一章　复数与复变函数3

1．复数3

1．复数域3

2．复平面5

3．复数的模与辐角7

4．复数的乘幂与方根13

5．共轭复数16

6．复数在几何上的应用举例18

2．复平面上的点集21

1．平面点集的几个基本概念21

2．区域与若尔当（Jordan）曲线22

3．复变函数28

1．复变函数的概念28

2．复变函数的极限与连续性33

4．复球面与无穷远点38

1．复球面38

2．扩充复平面上的几个概念40

第一章习题42

第二章　解析函数47

1．解析函数的概念与柯西-黎曼方程47

1．复变函数的导数与微分47

2．解析函数及其简单性质49

3．柯西-黎曼方程51

2．初等解析函数58

1．指数函数58

2．三角函数与双曲函数60

3．初等多值函数64

1．根式函数65

2．对数函数73

3．一般幂函数与一般指数函数78

4．具有多个有限支点的情形80

5．反三角函数与反双曲函数87

第二章习题90

第三章 复变函数的积分96

1．复积分的概念及其简单性质96

1．复变函数积分的定义96

2．复变函数积分的计算问题99

3．复变函数积分的基本性质100

2．柯西积分定理103

1．柯西积分定理103

2．柯西积分定理的古莎证明106

3．不定积分112

4．柯西积分定理的推广114

5．柯西积分定理推广到复周线的情形116

3．柯西积分公式及其推论119

1．柯西积分公式119

2．解析函数的无穷可微性123

3．柯西不等式与刘维尔（Liouville）定理126

4．摩勒拉（Morera）定理128

5．柯西型积分130

4．解析函数与调和函数的关系131

5．平面向量场——解析函数的应用（一）136

1．流量与环量137

2．无源、漏的无旋流动139

3．复势139

第三章习题141

第四章　解析函数的幂级数表示法147

1．复级数的基本性质147

1．复数项级数147

2．一致收敛的复函数项级数150

3．解析函数项级数153

2．幂级数154

1．幂级数的敛散性154

2．收敛半径R的求法、柯西-阿达马（Hadamard）公式157

3．幂级数和的解析性158

3．解析函数的泰勒（Taylor）展式159

1．泰勒定理159

2．幂级数的和函数在其收敛圆周上的状况162

3．一些初等函数的泰勒展式164

4．解析函数零点的孤立性及惟一性定理170

1．解析函数零点的孤立性170

2．惟一性定理173

3．最大模原理175

第四章习题178

第五章 解析函数的洛朗（Laurent）展式与孤立奇点184

1．解析函数的洛朗展式184

1．双边幂级数184

2．解析函数的洛朗展式185

3．洛朗级数与泰勒级数的关系188

4．解析函数在孤立奇点邻域内的洛朗展式189

2．解析函数的孤立奇点193

1．孤立奇点的三种类型193

2．可去奇点194

3．施瓦茨（Schwarz）引理195

4．极点197

5．本质奇点199

6．皮卡（Picard）定理200

3．解析函数在无穷远点的性质203

4．整函数与亚纯函数的概念209

1．整函数209

2．亚纯函数210

5．平面向量场——解析函数的应用（二）212

1．奇点的流体力学意义212

2．在电场中的应用举例214

第五章习题217

第六章 留数理论及其应用225

1．留数225

1．留数的定义及留数定理225

2．留数的求法227

3．函数在无穷远点的留数231

2．用留数定理计算实积分234

1．计算？ R（cosθ，sinθ）dθ型积分234

2．计算？dx型积分239

3．计算？dx型积分243

4．计算积分路径上有奇点的积分245

5．杂例247

6．应用多值函数的积分251

3．辐角原理及其应用259

1．对数留数259

2．辐角原理261

3．儒歇（Rouché）定理265

第六章习题269

第七章　共形映射277

1．解析变换的特性277

1．解析变换的保域性277

2．解析变换的保角性——导数的几何意义279

3．单叶解析变换的共形性283

2．分式线性变换285

1．分式线性变换及其分解285

2．分式线性变换的共形性289

3．分式线性变换的保交比性290

4．分式线性变换的保圆周（圆）性292

5．分式线性变换的保对称点性294

6．分式线性变换的应用296

3．某些初等函数所构成的共形映射301

1．幂函数与根式函数301

2．指数函数与对数函数303

3．由圆弧构成的两角形区域的共形映射306

4．机翼剖面函数及其反函数所构成的共形映射308

5．儒可夫斯基函数的单叶性区域311

4．关于共形映射的黎曼存在定理和边界对应定理312

1．黎曼存在定理312

2．边界对应定理315

第七章习题 ．317

第八章　解析延拓324

1．解析延拓的概念与幂级数延拓324

1．解析延拓的概念324

2．解析延拓的幂级数方法328

2．透弧解析延拓、对称原理334

1．透弧直接解析延拓334

2．黎曼-施瓦茨对称原理335

3．完全解析函数及黎曼面的概念341

1．完全解析函数341

2．单值性定理342

3．黎曼面概念345

4．多角形区域的共形映射350

1．克里斯托费尔（Christoffel）-施瓦茨变换351

2．退化情形356

3．广义多角形举例359

第八章习题363

第九章　调和函数367

1．平均值定理与极值原理367

1．平均值定理367

2．极值原理368

2．泊松积分公式与狄利克雷问题369

1．泊松积分公式369

2．狄利克雷问题370

3．单位圆内狄利克雷问题的解371

4．上半平面内狄利克雷问题的解374

第九章习题377