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第1章 实数与数列极限1

1.0预备知识1

1.0.1 一些常用的记号1

1.0.2 逻辑命题的否命题1

1.0.3 特殊的数集2

1.1 实数的基本性质与常用不等式3

1.1.1 实数的基本性质3

1.1.2 一些常用的不等式4

1.2 数列与数列极限的概念6

1.2.1 数列的定义6

1.2.2 数列极限的定义7

1.3 收敛数列的性质12

1.3.1 收敛数列的重要性质12

1.3.2 无穷小与无穷大数列17

1.4 发散数列与子列的概念19

1.4.1 发散数列19

1.4.2 数列的子列的概念20

1.5 确界原理22

1.5.1 有界集、上确界和下确界的概念22

1.5.2 确界的数列刻画24

1.5.3 数集确界的存在性与唯一性25

1.6 数列收敛的判别法27

1.6.1 迫敛性定理27

1.6.2 单调有界定理27

1.6.3 致密性定理与Cauchy收敛准则30

小结34

复习题35

第2章 函数与函数极限38

2.0预备知识38

2.1 映射与函数的概念39

2.1.1 映射的概念39

2.1.2 函数的概念39

2.1.3 函数的四种特性41

2.1.4 函数的基本运算43

2.1.5 反函数44

2.1.6 初等函数45

2.2 x→x0时函数极限的概念49

2.2.1 引例49

2.2.2 x趋于x0时的函数极限的定义49

2.2.3 三种函数极限的关系51

2.2.4 典型例子51

2.3 x→x0时函数极限的概念53

2.3.1 引例53

2.3.2 x趋于x0时函数极限的定义53

2.3.3 三种函数极限的关系55

2.3.4 典型例子56

2.4 函数极限的性质58

2.5 函数极限存在的判别法63

2.5.1 迫敛性定理63

2.5.2 归结原则——Heine定理66

2.5.3 函数的单调有界定理69

2.5.4 Cauchy准则70

2.6 无穷小量和无穷大量73

2.6.1 无穷大量与无穷小量的定义与性质73

2.6.2 无穷小量的比较75

小结78

复习题79

第3章 函数的连续性82

3.1 连续函数的概念82

3.1.1 函数在一点x0连续的定义82

3.1.2 函数的左连续与右连续及区间上的连续函数83

3.1.3 典型例子84

3.2 函数间断的概念86

3.2.1 间断点的定义及其分类86

3.2.2 典型例子87

3.3 连续函数的局部性质与初等函数的连续性89

3.3.1 局部性质89

3.3.2 初等函数的连续性90

3.3.3 应用函数的连续性求函数极限92

3.4 连续函数的整体性质94

3.4.1 有界性定理和最值定理94

3.4.2 零点定理与介值定理97

3.4.3 一致连续性定理99

小结103

复习题104

第4章 微分与导数106

4.1 微分与导数的概念106

4.1.1 微分的概念106

4.1.2 导数的概念109

4.1.3 可微与可导的关系111

4.1.4 可微函数与可导函数112

4.2 求导方法与导数公式113

4.2.1 用定义求函数的导数113

4.2.2 导数的四则运算法则115

4.2.3 反函数求导法则117

4.2.4 复合函数求导法则118

4.3 微分的计算与应用123

4.3.1 微分的运算法则123

4.3.2 微分在近似计算中的应用123

4.4 高阶导数与高阶微分126

4.4.1 高阶导数126

4.4.2 高阶微分129

4.5 参数方程所表示的函数的导数131

4.5.1 参数方程与函数131

4.5.2 用参数方程表示的函数的导数132

4.5.3 用极坐标方程表示的曲线的切线133

4.5.4 参数方程所表示的函数的高阶导数134

小结136

复习题136

第5章 导数的应用138

5.1 Fermat定理和Darboux定理138

5.1.1 极值的定义与Fermat定理138

5.1.2 Darboux定理139

5.2 中值定理140

5.2.1 Rolle中值定理140

5.2.2 Lagrange中值定理141

5.2.3 Cauchy中值定理144

5.3 不定式极限146

5.3.1 L’Hospital法则147

5.3.2 其他类型的不定式极限150

5.4 Taylor公式153

5.4.1 带Peano型余项的Taylor公式154

5.4.2 带Lagrange型余项的Taylor公式156

5.4.3 若干初等函数的Maclaurin公式157

5.4.4 Taylor公式应用举例160

5.5 函数的单调性与凸性163

5.5.1 函数的单调性163

5.5.2 函数的凸性165

5.5.3 曲线的拐点169

5.5.4 单调性与凸性的应用——证明一些不等式170

5.6 函数的极值与最值173

5.6.1 函数的极值173

5.6.2 函数的最值176

5.7 函数作图178

5.7.1 渐近线179

5.7.2 函数图形的描绘180

小结183

复习题184

第6章 实数集的稠密性与完备性187

6.1 实数集的稠密性187

6.1.1 两个实数的大小关系187

6.1.2 实数集的稠密性191

6.2 实数集的完备性193

6.2.1 区间套定理193

6.2.2 有限覆盖定理195

6.2.3 聚点定理197

6.2.4 实数集完备性基本定理的等价性199

6.3 上极限和下极限简介201

小结203

复习题204

习题答案或提示205

参考文献215

附录216

索引221