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第一章 一般辛结构下的生成函数法1

1.1生成函数的几何意义1

1.2简要叙述生成函数法2

1.3一般意义下的生成函数法7

1.4保体积格式的生成函数法8

1.5一般辛结构下的Hamilton系统的辛格式24

参考文献31

第二章 有限维Birkhoff系统的辛结构和辛格式33

2.1 Birkhoff方程33

2.2 Birkhoff结构和Birkhoff辛结构34

2.3依赖于时空变量的辛结构K（z,t）的生成函数37

2.4 Birkhoff方程的K（z,t）-辛差分格式43

2.5带阻尼的振动方程的Birkhoff辛格式48

2.6数值实验54

2.7附录：格式推导58

参考文献69

第三章 李群算法及其应用71

3.1研究李群算法的背景71

3.2预备知识76

3.2.1李群76

3.2.2李代数79

3.2.3李群Diff（M）的李代数81

3.2.4流形上的微分方程82

3.2.5伴随表示82

3.2.6指数映射和它的微分82

3.2.7李代数作用85

3.3李群算法86

3.3.1李群算法的理论基础86

3.3.2 Runge-Kutta-Munthe-Kaas（RKMK）方法描述97

3.4 KdV方程平方守恒型格式的构造99

3.4.1有限差分空间离散100

3.4.2 Fourier拟谱空间离散102

3.5数值实验105

3.6 Magnus方法介绍110

3.6.1 Magnus方法介绍110

3.6.2用Magnus方法解无阻尼Landau-Lifshitz方程115

3.7等谱流问题的李群算法118

3.7.1等谱流问题118

3.7.2等谱流的李群方法及李群算法中的牛顿迭代120

3.7.3数值实验123

3.8单程波李代数积分及应用124

3.8.1拟微分算子及其象征124

3.8.2象征的Witt积或象征的组合127

3.8.3单平方根算子的象征128

3.8.4象征的Witt除法129

3.8.5交换算子的象征130

3.8.6算子高次幂的象征130

3.8.7算子指数函数的象征130

3.8.8 2维象征的Witt积132

3.8.9单程波算子李代数积分132

3.8.10单程波算子的格林函数134

3.8.11结论139

参考文献141

第四章 无穷维Hamilton系统的辛几何算法145

4.1无穷维Hamilton方程146

4.1.1 Banach空间中的辛流形与辛结构152

4.1.2 Hamilton向量场和Hamilton系统155

4.1.3生成泛函159

4.2利用生成泛函构造辛格式166

4.2.1利用生成泛函构造格式的一般理论166

4.2.2应用170

4.2.3数值实验181

4.3波动方程辛差分格式的其他构造方法184

4.3.1多级显式辛格式184

4.3.2差分格式稳定性分析190

4.3.3多级隐式辛格式196

4.3.4数值实验197

4.4应用双曲函数构造辛格式199

4.4.1用双曲正切函数构造辛格式200

4.4.2用双曲正弦函数构造辛格式202

4.4.3用双曲余弦函数构造辛格式205

参考文献209

第五章 多辛几何算法211

5.1变分积分子与Lee积分子211

5.1.1 Lagrange变分原理211

5.1.2 Marsden变分原理的新观点214

5.1.3 Veselov离散的变分原理217

5.1.4三类辛积分子的变分描述219

5.1.5高阶方程的变分积分子223

5.1.6数值结果229

5.1.7全变分233

5.1.8数值实验241

5.1.9 Hamilton形式全变分245

5.1.10离散力学和有限元方法257

5.2多辛几何268

5.2.1多辛几何基本知识268

5.2.2多辛形式公式274

5.2.3离散的多辛几何283

5.2.4对称及延拓向量场288

5.2.5多辛方程及由多辛公式给出的守恒律297

5.3 Bridges意义下的多辛结构308

5.3.1 Bridges意义下的多辛结构308

5.3.2 Klein-Gordon方程的多辛结构313

5.3.3 Klein-Gordon方程的多辛格式320

5.3.4 sine-Gordon方程的Preissmann格式322

5.4复合方法构造多辛算法324

5.4.1两类实用的辛算法325

5.4.2复合方法构造多辛格式327

5.4.3数值实验和分析339

5.4.4高维推广347

5.5高精度多辛格式的构造353

5.5.1波方程辛格式的分析353

5.5.2后项误差分析方法355

5.5.3修正的线性波方程的多辛格式的构造357

5.5.4第一类生成函数法的变分描述368

5.5.5非线性波方程的多辛格式的构造372

5.5.6对线性波方程的整体误差分析和数值实验376

5.6 Schr6dinger方程的辛与多辛形式387

5.6.1 Schr6dinger方程的多辛结构387

5.6.2非线性Schr6dinger方程的辛算法395

5.6.3非线性Schr6dinger方程的多辛算法398

5.6.4线性稳定性分析401

5.6.5数值实验403

5.6.6 Schrodinger方程的变分积分子406

5.6.7多辛积分子与变分积分子410

5.7辛与多辛Fourier拟谱方法411

5.7.1辛Fourier拟谱方法412

5.7.2多辛Fourier拟谱方法417

5.7.3辛与多辛Fourier拟谱方法的关系418

5.7.4数值实验421

5.8 KdV方程的多辛格式423

5.8.1多辛方程组423

5.8.2 KdV方程的多辛Preissmann格式426

5.8.3 12点格式的一些数值结果429

5.8.4多辛方程组的数值解法435

5.8.5数值实验441

5.8.6 12点格式推导448

5.8.7 KdV方程的Euler box格式451

5.9一些方程的多辛形式454

5.9.1 BBM方程的辛形式和多辛形式454

5.9.2 1维可压缩流的Euler方程的多辛形式和多辛几何466

5.9.3 KP方程的多辛方法472

5.9.4 Ginzburg-Landau方程的多辛形式488

5.9.5线性阻尼的振动方程的Birkhoff形式503

5.10化PDE方程为Bridges形式507

5.10.1变分原理的反问题508

5.10.2化Euler-Lagrange方程为多辛方程511

5.10.3经典场论的全变分516

5.10.4 Lagrange力学的全变分516

5.10.5经典场论的全变分521

5.10.6多辛场论的Veselov型离散和可变步长的变分积分子524

参考文献529

第六章Maslov渐近理论与辛几何算法543

6.1从几何光学谈起543

6.2狭义几何光学（射线理论）545

6.3广义几何光学548

6.4 Maslov渐近理论551

6.4.1 Maslov渐近理论551

6.4.2构造方程及其渐近解552

6.4.3线形层状问题的整体渐近解557

6.4.4射线追踪与辛几何算法560

6.5波场的数值模拟568

参考文献573

第七章 微分复形与数值计算575

7.1 Maxwell方程575

7.1.1电磁方程的积分形式576

7.1.2关于微分形式的一些基本知识577

7.1.3 Maxwell方程的微分形式583

7.1.4 Maxwell方程的变分问题584

7.2代数拓扑基本概念586

7.2.1单纯形和单纯复形586

7.2.2链与上链589

7.2.3在网格上的ME方程591

7.2.4 De Rham微分复形595

7.2.5 Whitney形式601

7.2.6小结616

7.3 Hodge算子的离散619

7.3.1星算子离散形式620

7.3.2算子grad,curl,div离散的有限元法623

7.3.3 Hodge星算子离散的具体例子627

7.3.4基于微分形式的误差估计634

7.3.5 Yee格式638

7.3.6混合变分原理640

7.3.7矩阵关系式641

7.3.8延拓算子的例子643

7.3.9应用646

7.4 grad,curl,div算子离散的差分形式648

7.4.1算子（离散算子）grad（GRAD）,curl（CURL）,div（DIV）的定义域和值域649

7.4.2算子grad,curl,div离散的网格650

7.4.3曲线坐标系算子的grad,curl,div表示654

7.4.4 1维的数值例子660

7.4.5在一般网格上的内积公式664

7.4.6离散算子GRAD,DIV,CURL的共轭算子670

7.4.7梯度算子GRAD的内积672

7.4.8散度算子DIV的内积675

7.4.9旋度算子CURL的内积678

7.5 Maxwell方程在4维（时空）空间中的表示681

7.5.1电磁方程的变分原理683

7.5.2电磁方程的能量守恒685

7.5.3椭圆方程的另一种多辛形式687

7.5.4波动方程的另一种多辛形式688

7.5.5规范变换690

7.5.6 Maxwell方程在3维和4维（时空）空间中的表示692

参考文献693

第八章 局部保结构算法697

8.1引言697

8.2概念的提出699

8.3局部保结构算法的适用范围702

8.4应用例子704

8.4.1地球流体力学方程的数值模拟704

8.4.2孤立波方程的计算705

8.4.3电磁波方程的计算706

8.5局部保结构算法的构造706

8.5.1一些差分算子的性质707

8.5.2几个简单的ODEs差分格式709

8.5.3多辛格式的构造710

8.5.4局部能量守恒格式的构造714

8.5.5局部动量守恒格式的构造716

8.6一个数值例子719

8.7小结和讨论721

参考文献723

第九章 附录727

9.1变分计算727

9.2 KP方程45点格式729

9.3 Ginzburg-Landau方程18点格式734

9.4有限元和混合有限元的一些补充740

参考文献749

符号751

索引757