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第一章 绪论1

1.1 非线性偏微分方程的基本概念1

1.1.1 偏微分方程及其阶和解1

1.1.2 线性偏微分方程及其叠加原理2

1.2 非线性发展方程及其相关特性2

1.2.1 KdV方程与孤立子2

1.2.2 非线性发展方程的精确解3

1.3 非线性发展方程的解的激发4

1.3.1 孤子的激发4

1.3.2 孤子、混沌与分形的关系5

第二章 非线性发展方程的典型求解方法6

2.1 B？cklund变换法6

2.1.1 B？cklund变换法的起源6

2.1.2 B？cklund变换的定义6

2.1.3 Sine-Gordon方程的B？cklund变换法求解7

2.1.4 KdV方程的B？cklund变换法求解8

2.2 齐次平衡法10

2.2.1 齐次平衡法的主要思想及步骤10

2.2.2 KdV方程的齐次平衡法求解11

2.3 Hirota双线性法13

2.3.1 Hirota双线性算子及其性质13

2.3.2 Hirota双线性法14

2.3.3 KdV方程多孤立波解与Hirota双线性法14

2.3.4 改进的Hirota双线性法求解18

2.3.5 扩展的广义Vakhnenko方程多孤立波解与Hirota双线性法19

2.4 多线性分离变量法24

2.4.1 多线性分离变量法27

2.4.2 （2+1）维长波色散系统的多线性分离变量法求解29

2.5 Riccati映射法32

2.5.1 Tanh函数展开法33

2.5.2 KdV方程的Tanh函数展开法求解33

2.5.3 Riccati映射法34

2.5.4 （1+1）维Burgers方程的Riccati映射法求解35

2.6 F-展开法36

2.6.1 F-展开法的求解步骤36

2.6.2 修正的广义Vakhnenko方程的F-展开法求解39

2.6.3 修正的广义Vakhnenko方程的行波解的性状43

2.7 本章小结46

第三章 （G′/G）展开法的基本原理与求解步骤47

3.1 二阶线性常微分方程47

3.1.1 常微分方程的基本概念47

3.1.2 二阶线性常微分方程及其解的结构48

3.1.3 二阶常系数齐次线性常微分方程49

3.2 （G′/G）展开法52

3.2.1 （1+1）维方程的（G′/G）展开法求解步骤52

3.2.2 高维方程的（G′/G）展开法求解步骤54

3.3 （G′/G）展开法与其他方法的比较54

第四章 （G′/G）展开法构造行波解55

4.1 KdV方程的（G′/G）展开法求解55

4.1.1 KdV方程的（G′/G）展开法求解55

4.1.2 KdV方程解的性状57

4.2 耦合mKdV方程组的（G′/G）展开法求解60

4.2.1 耦合mKdV方程组的（G′/G）展开法求解60

4.2.2 耦合mKdV方程组行波解的性状63

4.3 修正的广义Vakhnenko方程的（G′/G）展开法求解65

4.3.1 修正的广义Vakhnenko方程的行波解65

4.3.2 修正的广义Vakhnenko方程解的性状69

4.4 （2+1）维广义浅水波方程的（G′/G）展开法求解72

4.4.1 （2+1）维广义浅水波方程的行波解72

4.4.2 （2+1）维广义浅水波方程行波解的性状74

4.5 （2+1）维ANNV系统的（G′/G）展开法求解75

4.5.1 （2+1）维ANNV系统的行波解75

4.5.2 （2+1）维ANNV系统行波解的性状81

4.6 广义Burgers-Fisher方程的（G′/G）展开法求解82

4.6.1 广义Burgers-Fisher方程的行波解82

4.6.2 广义Burgers-Fisher方程行波解的性状85

4.7 本章小结85

第五章 （G′/G）展开法构造行波解的扩展87

5.1 （G′/G）展开法构造行波解的扩展87

5.1.1 解的对称延拓87

5.1.2 解的带根号项扩展87

5.2 ITO方程组的（G′/G）展开法求解88

5.2.1 ITO方程组的行波解88

5.2.2 ITO方程行波解的性状93

5.3 （2+1）维广义Sasa-Satsuma方程组的（G′/G）展开法求解93

5.3.1 （2+1）维广义Sasa-Satsuma方程组的行波解93

5.3.2 （2+1）维广义Sasa-Satsuma方程组行波解的性状101

5.4 本章小结101

第六章 （G′/G）展开法在构造非行波解中的应用103

6.1 （G′/G）展开法构造非行波解103

6.1.1 （G′/G）展开法构造非行波解的基本思想103

6.1.2 （G′/G）展开法构造非行波解的主要步骤103

6.2 （1+1）维变系数耦合KdV系统的非行波解104

6.3 （2+1）维变系数色散长波系统的非行波解109

6.4 （2+1）维变系数Broer-Kaup系统的非行波解114

6.5 （3+1）维Burgers系统的非行波解117

6.6 本章小结121

第七章 （G′/G）展开法构造非行波解的扩展122

7.1 （G′/G）展开法构造非行波解的进一步扩展122

7.1.1 （G′/G）展开法构造非行波解的扩展的基本思想122

7.1.2 （G′/G）展开法构造非行波解的扩展及主要步骤122

7.2 （2+1）维BLP系统的非行波解123

7.3 （2+1）维ANNV系统的非行波解129

7.4 本章小结136

第八章 非线性发展方程的局域孤子激发137

8.1 孤子结构的激发138

8.1.1 单向线性孤子138

8.1.2 Lump孤子与环孤子138

8.1.3 Dromion孤子142

8.1.4 振动Dromion孤子142

8.1.5 呼吸孤子145

8.1.6 Solitoff孤子145

8.1.7 Peakon孤子145

8.1.8 Compacton孤子148

8.1.9 方孤子149

8.1.10 内嵌孤子150

8.1.11 锥孤子155

8.1.12 柱孤子155

8.2 折叠孤子155

8.2.1 折叠孤子基础156

8.2.2 单向折叠孤子156

8.2.3 单向双折叠孤子158

8.2.4 单向上下折叠孤子158

8.2.5 双层凹状折叠孤子158

8.2.6 双向折叠孤子158

8.2.7 单向多折叠孤子161

8.2.8 双向双层折叠孤子162

8.2.9 其他折叠孤子163

8.3 孤子间的相互作用164

8.3.1 孤子的非弹性碰撞167

8.3.2 孤子的弹性碰撞169

8.4 孤子的裂变与聚变169

8.4.1 孤子的裂变169

8.4.2 孤子的聚变169

8.5 狐子的湮灭173

8.6 周期波背景的孤子173

8.7 本章小结176

第九章 非线性发展方程的混沌结构激发178

9.1 混沌系统178

9.1.1 混沌的基本概念178

9.1.2 Lorenz混沌系统178

9.1.3 Duffing混沌系统181

9.2 单向混沌结构181

9.3 双向混沌结构184

9.4 混沌结构的演化187

9.5 本章小结187

第十章 非线性发展方程的分形结构激发192

10.1 分形的基本概念192

10.2 十字型分形结构192

10.3 Dromion分形结构193

10.4 Lump分形结构196

10.5 复合分形结构196

10.6 本章小结199

附录一 Jacobi椭圆函数及其基本公式204

A.1 Jacobi椭圆函数的定义204

A.2 Jacobi椭圆函数的基本公式204

附录二 F-展开法求解修正的广义Vakhnenko方程中的公式推导206

附录三 （G′/G）展开法求解修正的广义Vakhnenko方程中的公式推导211

附录四 部分局域结构激发的MatLab作图程序213

D.1 折叠孤子激发的MatLab作图程序213

D.2 混沌结构激发的MatLab作图程序215

D.3 分形结构激发的MatLab作图程序216

参考文献219