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第1章 极限1

1.1 基本理论1

1.1.1 基本概念1

1.1.2 基本性质1

1.1.3 基本结论2

1.2 典型例题3

1.2.1 用定义证明极限3

1.2.2 用罗必达法则求极限6

1.2.3 用Taylor公式求极限8

1.2.4 利用初等变换法求极限9

1.2.5 利用变量替换求极限9

1.2.6 利用迫敛性求极限10

1.2.7 利用定积分定义求极限13

1.2.8 O.Stolz公式15

1.2.9 利用序列的递推关系求极限20

1.2.10 求极限的其他几种方法27

第2章 连续37

2.1 基本概念37

2.1.1 在一点连续的三种等价定义37

2.1.2 左、右连续概念37

2.1.3 间断点及其分类37

2.1.4 一致连续概念37

2.2 基本性质38

2.2.1 局部性质38

2.2.2 闭区间上连续函数的基本性质38

2.3 典型例题38

2.3.1 连续性的证明38

2.3.2 函数的一致连续性42

第3章 一元函数微分学49

3.1 导数概念及可微性49

3.1.1 基本概念49

3.1.2 典型例题49

3.2 微分中值定理及导数应用57

3.2.1 导数的两大特征57

3.2.2 中值定理的应用59

3.2.3 Taylor公式的应用64

3.2.4 函数的零点72

第4章 定积分75

4.1 基本理论75

4.2 可积性76

4.3 积分性质的应用78

4.4 积分等式的证明85

4.5 积分估值87

4.6 积分不等式91

4.7 定积分计算96

第5章 级数理论99

5.1 数项级数99

5.1.1 基本理论99

5.1.2 正项级数敛散性判别法99

5.1.3 任意项级数敛散性判别法101

5.1.4 典型例题101

5.2 函数列与函数项级数111

5.2.1 基本理论111

5.2.2 分析性质113

5.2.3 典型例题114

5.3 幂级数122

5.3.1 基本理论122

5.3.2 和函数的分析性质123

5.3.3 函数的幂级数展开123

5.3.4 典型例题123

5.4 Fourier级数129

5.4.1 基本理论129

5.4.2 典型例题131

第6章 多元函数微分学137

6.1 常见的几种关系137

6.1.1 二重极限与累次极限之间的关系137

6.1.2 偏导数与可微之间的关系137

6.1.3 方向导数与连续，偏导数存在及可微之间的关系138

6.1.4 混合偏导数之间的关系138

6.2 典型例题138

第7章 广义积分143

7.1 基本概念143

7.1.1 定义143

7.1.2 性质143

7.2 广义积分敛散性判别法144

7.2.1 基本定理144

7.2.2 Cauchy收敛准则144

7.2.3 比较判别法145

7.2.4 Cauchy判别法145

7.2.5 Abel判别法146

7.2.6 Dirichlet判别法146

7.3 常见的几种关系147

7.3.1 可积、绝对可积、平方可积之间的关系147

7.3.2 广义积分与无穷级数之间的关系147

7.3.3 无穷积分与瑕积分之间的关系147

7.3.4 无穷积分∫？f(x)dx的收敛性与？f(x)=0之间的关系148

7.4 广义积分计算与敛散性判别151

7.4.1 计算151

7.4.2 广义积分的敛散性判别155

7.5 Froullani积分161

7.6 Riemann引理163

第8章 含参变量积分165

8.1 含参变量定积分165

8.1.1 基本理论165

8.1.2 典型例题165

8.2 含参变量的广义积分167

8.2.1 含参变量广义积分的一致收敛性及判别法167

8.2.2 含参变量广义积分的极限与连续性168

8.2.3 含参变量广义积分的积分号交换与积分号下求导168

8.2.4 典型例题169

第9章 多元函数积分学175

9.1 重积分175

9.1.1 基本积分方法175

9.1.2 典型例题176

9.2 曲线积分与格林公式184

9.2.1 基本内容184

9.2.2 典型例题186

9.3 曲面积分与高斯公式190

9.3.1 基本内容190

9.3.2 典型例题192

参考文献195