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第1章 引言1

1.1概述1

1.2启发例子1

1.2.1例Ⅰ：复合材料中的稳态热传导问题1

1.2.2例Ⅱ：对流扩散方程的均匀化2

1.2.3例Ⅲ：平均化、均匀化及动力系统4

1.2.4例Ⅳ：动力系统中降维5

1.3平均化对均匀化6

1.3.1线性系统的平均化6

1.3.2线性系统的均匀化7

1.4讨论和参考9

第一部分 背景13

第2章 分析13

2.1结构13

2.2记号13

2.3 Banach空间和Hilbert空间15

2.3.1 Banach空间16

2.3.2 Hilbert空间17

2.4函数空间18

2.4.1连续函数空间18

2.4.2 Lp空间18

2.4.3 Sobolev空间20

2.4.4 Banach空间值空间22

2.4.5周期函数的Sobolev空间23

2.5双尺度收敛24

2.5.1稳态问题的双尺度收敛24

2.5.2时变问题的双尺度收敛27

2.6 Hilbert空间中的方程28

2.6.1 Lax-Milgram定理28

2.6.2 Fredholm性质29

2.7讨论和参考30

2.8练习32

第3章 概率论和随机过程34

3.1格局34

3.2概率论、期望和条件期望34

3.3随机过程37

3.4鞅和随机积分42

3.4.1鞅42

3.4.2 Ito随机积分44

3.4.3 Stratonovich随机积分45

3.5概率测度的弱收敛46

3.6讨论和参考50

3.7练习51

第4章 常微分方程53

4.1格局53

4.2存在性和唯一性53

4.3生成子56

4.4遍历性59

4.5讨论和参考64

4.6练习65

第5章Markov链66

5.1格局66

5.2离散时间Markov链66

5.3连续时间Markov链67

5.4生成子69

5.5存在唯一性72

5.6遍历性73

5.7讨论和参考75

5.8练习76

第6章 随机微分方程77

6.1格局77

6.2存在唯一性77

6.3生成子79

6.4遍历性84

6.5讨论和参考90

6.6练习91

第7章 偏微分方程93

7.1格局93

7.2椭圆型偏微分方程93

7.2.1 Dirichlet问题94

7.2.2周期问题96

7.2.3Fredholm性质96

7.2.4极大值原理102

7.3抛物型偏微分方程103

7.3.1有界域103

7.3.2极大值原理104

7.3.3无界域：Cauchy问题106

7.4双曲偏微分方程106

7.5半群109

7.6讨论和参考110

7.7练习111

第二部分 扰动展开115

第8章 常微分方程的不变流形115

8.1引言115

8.2完全方程115

8.3简化方程116

8.4推导117

8.5应用118

8.5.1线性快速动力学118

8.5.2长时间动力学118

8.5.3中心流形119

8.6讨论和参考120

8.7练习122

第9章Markov链的平均化123

9.1引言123

9.2完全方程123

9.3简化方程125

9.4推导125

9.5应用127

9.6讨论和参考128

9.7练习128

第10章 常微分方程和随机微分方程的平均化130

10.1引言130

10.2完全方程130

10.3简化方程131

10.4推导131

10.5确定性问题132

10.6应用134

10.6.1不对称积随机微分方程134

10.6.2 Hamiltonian原理135

10.7讨论和参考138

10.8练习139

第11章 常微分方程、随机微分方程的均匀化141

11.1引言141

11.2完全方程141

11.3简化方程143

11.4推导144

11.5简化方程的性质146

11.6确定性问题146

11.7应用149

11.7.1快速Ornstein-Uhlenbeck噪声149

11.7.2快速混沌噪声152

11.7.3 Stratonovich修正152

11.7.4 Stokes定理154

11.7.5 Green-Kubo公式156

11.7.6非Ito， Stratonovich情形157

11.7.7 Levy面积修正159

11.8讨论和参考160

11.9练习163

第12章 椭圆型偏微分方程的均匀化165

12.1引言165

12.2完全方程165

12.3简化方程166

12.4推导167

12.5简化方程的性质170

12.6应用172

12.6.1一维情形172

12.6.2层状材料174

12.7讨论和参考176

12.8练习180

第13章 抛物型偏微分方程的均匀化183

13.1引言183

13.2完全方程183

13.3简化方程185

13.4推导186

13.5简化方程的性质187

13.6应用189

13.6.1梯度向量场189

13.6.2无散场194

13.7随机微分方程的联系200

13.8讨论和参考201

13.9练习203

第14章 线性双曲型和抛物型偏微分方程的平均化206

14.1引言206

14.2完全方程206

14.3简化方程207

14.4推导208

14.5运输方程：D＝0209

14.5.1一维例子210

14.5.2无散度速度场211

14.6常微分方程和随机微分方程的联系212

14.7讨论和参考214

14.8练习214

第三部分 理 论219

第15章 常微分方程的不变流形：收敛性定理219

15.1引言219

15.2定理219

15.3证明221

15.4讨论和参考222

15.5练习223

第16章Markov链的平均化：收敛性定理224

16.1引言224

16.2定理224

16.3证明225

16.4讨论和参考226

16.5练习226

第17章 随机微分方程的平均化：收敛性定理228

17.1引言228

17.2定理228

17.3证明229

17.4讨论和参考231

17.5练习232

第18章 随机微分方程的均匀化：收敛性定理233

18.1引言233

18.2定理233

18.3证明235

18.4讨论和参考238

18.5练习239

第19章 椭圆型偏微分方程的均匀化：收敛性定理240

19.1引言240

19.2定理240

19.3证明：L2上的强收敛241

19.4证明：H1上的强收敛245

19.5讨论和参考247

19.6练习248

第20章 抛物型偏微分方程的均匀化：收敛性定理250

20.1引言250

20.2定理250

20.3证明251

20.4讨论和参考254

20.5练习254

第21章 线性双曲方程和抛物型偏微分方程的平均化：收敛性定理256

21.1引言256

21.2定理256

21.3证明：D＞0257

21.4证明：D＝0259

21.5讨论和参考261

21.6练习261

参考文献263

《现代数学译丛》已出版书目284