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第一章 集合和映射1

1.1 集合1

1.2 关系4

1.3 映射8

1.4 集合的势12

1.5 选取公理14

第二章 代数结构18

2.1 代数系的一般概念18

2.2 半群与群22

1.半群与群的概念23

2.陪集、正规子群及共轭子群27

3.群的同态与同构36

4.群的直积39

5.群在计数问题上的应用40

2.3 环与域51

1.环与域的概念51

2.环的同态与同构57

3.扩域60

4.应用举例71

(1)拉丁方阵71

(2)Hadamard矩阵76

2.4 有限自动机及其应用83

1.有限自动机83

2.移位寄存器94

3.形式语言101

2.5 代数编码109

1.编码理论的基本概念109

2.线性码113

3.群码与陪集译码法116

4.循环码119

第三章 拓扑结构131

3.1 拓扑与拓扑空间131

1.拓扑与拓扑空间的定义131

2.拓扑基与可数性公理136

3.连续映射与同胚141

4.乘积空间和商空间147

3.2 可数性、分离性及可度量化158

1.可数性158

2.分离性162

3.函数分离性167

4.度量化定理172

3.3 紧性177

1.紧空间及其性质177

2.序列紧性与可数紧性183

3.度量空间中的紧性187

4.局部紧与紧化191

3.4 连通性195

1.连通空间195

2.道路连通与道路连通分支200

3.同伦与基本群202

3.5 完备度量空间与函数空间211

1.完备度量空间211

2.函数空间216

第四章 测度结构227

4.1 可测空间与测度空间227

1.σ代数与可测空间227

2.测度与测度空间229

3.测度的延拓与完备化235

1.可测函数的定义及其基本性质253

4.2 可测函数与可测映射253

2.可测函数序列的收敛性258

3.可测映射265

4.3 积分理论269

1.测度空间上可测函数的积分及其性质269

2.积分的极限定理276

3.Lebesgue-Stieltjes积分281

4.Lp空间284

4.4 广义测度294

1.广义测度的Hahn分解和Jordan分解294

2.Radon-Nikodym定理及其应用300

3.Lebesgue分解定理307

1.基本概念与性质316

4.5 乘积测度和乘积空间上的积分316

2.Fubini定理322

3.无穷多个测度空间的乘积327

第五章 线性算子和非线性算子引论333

5.1 线性算子334

1.有界线性算子和连续线性算子335

2.Hilbert伴随算子347

3.Hilbert空间中的无界线性算子350

5.2 泛函分析的基本定理358

1.泛函延拓定理358

2.纲定理和一致有界性定理367

3.弱收敛和弱？收敛370

4.逆算子定理和闭图像定理377

5.3 线性算子的谱理论385

1.基本概念387

2.有界线性算子的谱性质394

3.有界自伴线性算子的谱性质399

4.自伴线性算子的谱分析399

5.4 非线性算子413

1.非线性算子的有界性和连续性413

2.Banach空间中的微分和积分420

3.梯度算子431

4.压缩算子与非扩展算子435

5.全连续算子443

参考文献454