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第一章 准备知识1

§1 Banach空间上的微分学2

1．1 非线性映射的有界性与连续性2

1．2 微分学6

1．3 隐函数定理10

1．4 常微分方程初值问题15

§2 Banach流形16

2．1 Banach流形与向量丛16

2．2 切丛与余切丛20

2．3 向量场和微分方程的流25

2．4 Finsler结构27

3．1横截概念32

§3 横截与横截定理32

3．2Sard定理33

3．3 横截定理36

§4 拓扑度37

4．1 Brouwer度的定义37

4．2 Brouwer度的基本性质与计算43

4．3 Leray-Schauder度49

§5 СоболΘв空间及偏微分算子54

5．1СоболΘв空间54

5．2 嵌入定理56

5．3 可微泛函63

5．4 流形上的СоболΘв空间65

§6 三个微分算子67

6．1 Laplace算子67

6．2 波算子□=？？-？？69

6．3 Hamilton算子75

第二章 极值理论与凸分析79

§1 泛函的极值理论80

1．1 无约束极值点81

1．2 近似极小值点82

1．3 约束极值问题85

§2 凸分析与非光滑分析87

2．1 凸函数的次微分88

2．2 共轭函数94

2．3 非光滑分析97

§3 应用与例102

§4 一个几何问题114

§5 等量面上Hamilton系统的周期轨道120

第三章 极小极大原理126

§1 伪梯度流与极小极大原理127

1．1 伪梯度向量场127

1．2 伪梯度流与形变引理129

1．3 极小极大原理134

1．4 一个加强的形变引理137

§2 环绕140

3．1 超线性椭圆边值问题150

§3 山路引理在微分方程中的应用150

3．2 一类算子方程的非平凡解154

3．3半线性波方程的周期解164

3．4 Hamilton方程组的周期解170

§4 环绕的其它应用172

4．1 共振问题172

4．2 零点非超线性的问题177

第四章 畴数与指标180

§1 畴数理论181

1．1 畴数181

1．2 绝对邻域收缩核与连续映射的扩张性质184

1．3 Люстерник Шнирелъман重数定理191

1．4 流形上的伪梯度向量场与形变定理194

§2 指标理论199

2．1 群作用下不变的泛函199

2．2 指标207

2．3 伪指标210

§3 Z2群的指标215

3．1 亏格215

3．2 临界点定理的应用（无约束泛函）219

3．3 伪指标的应用221

3．4 非线性本征值问题228

4．1 S1指标232

§4 S1群的指标232

4．2 Ekeland-Lasry定理239

第五章 Morse理论及其应用249

§1 同调论的回顾250

1．1 奇异同调群251

1．2 奇异上同调256

1．3 上积与卡积258

1．4 上积长260

§2 Morse理论261

2．1 临界群与Morse型数261

2．2 Morse不等式265

2．3 Morse引理271

2．4 胞腔粘合274

§3 几个临界点定理276

3．1 一个三临界点定理276

3．2 分歧问题278

3．3 渐近线性方程282

3．4 一个极小极大定理288

§4 对微分方程的应用290

4．1 三解定理的应用290

4．2 鞍点约化与渐近线性算子方程292

4．3 渐近线性椭圆边值问题297

4．4 Arnold猜测299

参考文献306