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第1章 函数1

1.1 函数的概念1

1.1.1 集合的概念1

1.1.2 函数的概念2

1.1.3 函数的定义域4

1.1.4 几个特殊函数4

1.1.5 函数的特性6

习题1.18

1.2 反函数、复合函数和初等函数9

1.2.1 反函数9

1.2.2 复合函数10

1.2.3 基本初等函数11

1.2.4 初等函数14

习题1.214

复习题115

第2章 极限与连续17

2.1 数列的极限17

2.1.1 数列的概念17

2.1.2 数列的极限18

2.1.3 数列极限的几何意义21

2.1.4 收敛数列的性质22

2.1.5 收敛数列的四则运算22

习题2.123

2.2 函数的极限24

2.2.1 函数的极限24

2.2.2 函数极限的性质27

习题2.228

2.3 无穷小量与无穷大量28

2.3.1 无穷小量28

2.3.2 无穷小量的性质29

2.3.3 无穷大量30

习题2.331

2.4 极限的运算法则32

习题2.434

2.5 极限存在准则及两个重要极限35

2.5.1 极限存在准则35

2.5.2 两个重要极限37

习题2.542

2.6 无穷小量的比较43

2.6.1 无穷小量的比较43

2.6.2 等价无穷小量的性质43

习题2.646

2.7 连续函数46

2.7.1 函数的连续性46

2.7.2 函数的间断点48

2.7.3 连续函数的运算与性质49

2.7.4 初等函数的连续性51

2.7.5 闭区间上连续函数的性质52

习题2.753

复习题254

第3章 导数与微分56

3.1 导数的基本概念56

3.1.1 函数的变化率问题举例56

3.1.2 导数的定义57

3.1.3 用定义求导数举例59

3.1.4 左、右导数61

3.1.5 导数的几何意义62

3.1.6 函数可导与连续的关系63

习题3.163

3.2 函数的求导法则64

3.2.1 函数的和、差、积、商的求导法则64

3.2.2 反函数的求导法则66

3.2.3 复合函数的求导法则67

3.2.4 基本求导法则与导数公式68

习题3.270

3.3 高阶导数72

3.3.1 高阶导数的定义72

3.3.2 高阶导数的求导法则74

习题3.374

3.4 隐函数及由参数方程所确定的函数的导数75

3.4.1 隐函数的导数75

3.4.2 对数求导法76

3.4.3 由参数方程所确定的函数的求导法则78

3.4.4 相关变化率80

习题3.481

3.5 函数的微分82

3.5.1 微分的概念82

3.5.2 微分的几何意义84

3.5.3 微分的基本公式和运算法则84

3.5.4 微分在近似计算中的应用86

习题3.587

复习题388

第4章 导数的应用91

4.1 微分中值定理91

4.1.1 费马定理91

4.1.2 罗尔定理92

4.1.3 拉格朗日（Lagrange）中值定理93

4.1.4 柯西中值定理95

4.1.5 泰勒中值定理96

习题4.199

4.2 洛必达法则100

4.2.1 0/0型和∞／∞型未定式的极限100

4.2.2 其他形式的未定式103

习题4.2106

4.3 函数的单调性与极值107

4.3.1 函数单调性的判别法107

4.3.2 函数的极值及其判别法108

4.3.3 函数的最大值、最小值问题112

习题4.3113

4.4 曲线的凹凸性与函数作图113

4.4.1 函数的凹凸性与拐点113

4.4.2 曲线的渐近线116

4.4.3 函数图像的描绘117

习题4.4118

复习题4119

第5章 不定积分120

5.1 不定积分的概念与性质120

5.1.1 不定积分的概念120

5.1.2 不定积分的基本公式121

5.1.3 不定积分的性质122

5.1.4 不定积分的几何意义124

习题5.1125

5.2 不定积分的换元积分法125

5.2.1 第一类换元积分法126

5.2.2 第二类换元积分法130

习题5.2133

5.3 不定积分的分部积分法134

习题5.3137

5.4 有理函数与无理函数的积分138

5.4.1 有理函数的积分138

5.4.2 三角函数有理式的积分141

5.4.3 简单无理函数的积分142

习题5.4143

复习题5143

第6章 定积分及其应用145

6.1 定积分的概念与性质145

6.1.1 定积分的概念145

6.1.2 定积分的性质149

习题6.1151

6.2 微积分基本公式151

6.2.1 积分上限函数151

6.2.2 微积分基本定理153

习题6.2155

6.3 定积分的换元积分法和分部积分法155

6.3.1 定积分的换元积分公式156

6.3.2 定积分的分部积分公式158

习题6.3161

6.4 反常积分162

6.4.1 无穷限的反常积分162

6.4.2 无界函数的反常积分164

习题6.4165

6.5 定积分的应用166

6.5.1 定积分的微元法166

6.5.2 平面图形的面积166

6.5.3 旋转体的体积167

习题6.5169

复习题6169

第7章 微分方程171

7.1 常微分方程的基本概念171

习题7.1174

7.2 一阶微分方程174

7.2.1 可分离变量的微分方程174

7.2.2 一阶线性微分方程177

7.2.3 伯努利（Bernoulli）微分方程180

7.2.4 一阶微分方程应用举例181

习题7.2183

7.3 可降阶的高阶微分方程183

7.3.1 y(n)=f（x）型微分方程184

7.3.2 y″=f（x,y′）型微分方程184

7.3.3 y″=f（y,y′）型微分方程185

习题7.3186

7.4 二阶线性微分方程解的结构186

7.4.1 二阶齐次线性微分方程解的结构187

7.4.2 二阶非齐次线性微分方程解的结构188

习题7.4189

7.5 二阶常系数线性微分方程190

7.5.1 二阶常系数齐次线性微分方程190

7.5.2 二阶常系数非齐次线性微分方程192

习题7.5196

复习题7196

第8章 线性代数与空间解析几何198

8.1 行列式198

8.1.1 行列式的概念198

8.1.2 行列式的性质及运算200

8.1.3 克莱姆（Cramer）法则202

习题8.1204

8.2 矩阵205

8.2.1 矩阵的概念205

8.2.2 矩阵的运算206

8.2.3 逆矩阵210

8.2.4 矩阵的秩213

习题8.2215

8.3 线性方程组216

8.3.1 消元法216

8.3.2 初等变换法217

8.3.3 方程组的解的存在条件218

习题8.3221

8.4 向量的概念与几何运算222

8.4.1 向量的概念222

8.4.2 向量的加减运算222

8.4.3 向量的数乘运算224

习题8.4224

8.5 向量代数224

8.5.1 空间直角坐标系224

8.5.2 向量的坐标表达式226

8.5.3 向量线性运算的坐标表达式227

8.5.4 向量的模与方向余弦的坐标表达式227

8.5.5 向量的数量积228

8.5.6 向量的向量积230

习题8.5232

8.6 平面与空间直线233

8.6.1 平面及其方程233

8.6.2 空间直线方程237

8.6.3 直线与平面的位置关系238

习题8.6239

8.7 空间曲面与空间曲线的方程240

8.7.1 曲面方程的概念240

8.7.2 几种常见曲面的方程241

8.7.3 常见的二次曲面243

8.7.4 空间曲线及其方程245

习题8.7247

复习题8248

第9章 多元函数微积分251

9.1 二元函数251

9.1.1 二元函数的概念251

9.1.2 二元函数的极限与连续253

习题9.1254

9.2 偏导数255

9.2.1 偏导数的概念255

9.2.2 偏导数的几何意义258

9.2.3 高阶偏导数258

习题9.2259

9.3 全微分260

9.3.1 全微分的概念260

9.3.2 可微的性质261

9.3.3 全微分在近似计算中的应用263

习题9.3263

9.4 多元复合函数的导数264

9.4.1 多元复合函数的求导法则264

9.4.2 全微分的形式不变性267

9.4.3 隐函数的求导法则267

习题9.4270

9.5 偏导数的几何应用270

9.5.1 空间曲线的切线与法平面270

9.5.2 曲面的切平面与法线272

习题9.5275

9.6 多元函数的极值及其求法275

9.6.1 多元函数的极值275

9.6.2 多元函数的最大值与最小值277

9.6.3 条件极值278

习题9.6281

9.7 二重积分282

9.7.1 二重积分的概念282

9.7.2 二重积分的性质284

9.7.3 二重积分的计算方法285

习题9.7295

复习题9297

第10章 无穷级数300

10.1 常数项级数的概念和性质300

10.1.1 基本概念300

10.1.2 常数项级数的性质303

习题10.1305

10.2 常数项级数的审敛法305

10.2.1 正项级数及其审敛法305

10.2.2 交错级数及其审敛法311

10.2.3 绝对收敛与条件收敛313

习题10.2315

10.3 幂级数315

10.3.1 函数项级数的概念315

10.3.2 幂级数及其收敛性316

10.3.3 幂级数的运算320

习题10.3322

10.4 函数展开成幂级数322

10.4.1 泰勒（Taylor）级数322

10.4.2 函数展开成幂级数的方法323

习题10.4327

复习题10327

习题答案329

参考文献359