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第1章 函数与极限1

1.1 函数1

1.1.1 常量与变量1

1.1.2 函数的概念1

1.1.3 函数的几何性质3

1.1.4 函数的运算5

1.2 变量的极限9

1.2.1 数列的极限9

1.2.2 函数的极限13

1.2.3 极限的计算15

1.2.4 无穷小量17

1.3 函数的连续性21

1.3.1 连续和间断21

1.3.2 连续函数的性质24

第2章 导数及其应用26

2.1 导数与微分26

2.1.1 导数的定义26

2.1.2 微分的定义29

2.2 导数和微分的计算31

2.2.1 基本求导法则32

2.2.2 导数计算举例33

2.2.3 微分的计算法则35

2.2.4 隐函数的导数和参变量的导数36

2.3 高阶导数39

2.3.1 高阶导数的定义39

2.3.2 高阶导数的计算40

2.4 导数的应用42

2.4.1 微分中值定理42

2.4.2 洛必达法则44

2.4.3 函数的单调性与极值的判定46

2.4.4 泰勒公式48

2.4.5 曲线的凹凸性与拐点50

2.4.6 函数图形的绘制50

2.4.7 最优化问题52

第3章 不定积分57

3.1 不定积分的概念与性质57

3.1.1 原函数与不定积分的概念57

3.1.2 不定积分的性质59

3.1.3 基本积分公式59

3.2 换元积分法61

3.2.1 第一换元法62

3.2.2 第二换元法66

3.3 分部积分法70

第4章 定积分及其应用74

4.1 定积分的概念74

4.1.1 面积问题和路程问题74

4.1.2 定积分的定义76

4.1.3 定积分的性质79

4.2 牛顿-莱布尼兹公式81

4.2.1 积分上限函数81

4.2.2 牛顿-莱布尼兹公式83

4.3 定积分的积分法85

4.3.1 定积分的换元积分法86

4.3.2 定积分的分部积分法88

4.4 广义积分90

4.4.1 无穷区间上的广义积分91

4.4.2 被积函数有无穷型间断点的广义积分92

4.4.3 Euler积分93

4.5 定积分的应用95

4.5.1 微元法95

4.5.2 平面图形的面积96

4.5.3 旋转体的体积97

4.5.4 函数的平均值98

4.5.5 变力所做的功99

4.5.6 定积分在医药学上的应用99

第5章 无穷级数101

5.1 数项级数的收敛性101

5.1.1 数项级数的概念101

5.1.2 无穷级数的基本性质103

5.2 数项级数的敛散性判别法105

5.2.1 正项级数及其敛散性判别法105

5.2.2 交错级数及其判别法109

5.2.3 任意项级数的绝对收敛与条件收敛110

5.3 幂级数112

5.3.1 函数项级数及其收敛性112

5.3.2 幂级数及其敛散性113

5.3.3 幂级数的运算116

5.3.4 函数展开成幂级数117

5.3.5 函数的幂级数展开式的应用120

第6章 空间解析几何123

6.1 空间直角坐标系123

6.1.1 空间直角坐标系123

6.1.2 空间两点间的距离124

6.2 空间曲面与曲线125

6.2.1 空间曲面125

6.2.2 空间曲线128

6.3 二次曲面130

6.4 向量代数132

6.4.1 向量的概念132

6.4.2 向量的线性运算133

6.4.3 向量的坐标134

6.4.4 向量的数量积134

6.5 空间平面与直线136

6.5.1 平面方程136

6.5.2 空间直线的方程137

第7章 多元函数及其微分法139

7.1 多元函数的极限与连续139

7.1.1 多元函数的概念139

7.1.2 二元函数的极限140

7.1.3 二元函数的连续性142

7.2 偏导数143

7.2.1 偏导数的定义与计算143

7.2.2 高阶偏导数146

7.3 全微分148

7.4 方向导数与梯度151

7.4.1 方向导数151

7.4.2 梯度153

7.5 多元复合函数与隐函数的求导法则154

7.5.1 多元复合函数的求导法则155

7.5.2 隐函数的求导法则158

7.6 多元函数的极值160

7.6.1 二元函数的极值160

7.6.2 拉格朗日乘数法162

第8章 多元函数积分法165

8.1 二重积分165

8.1.1 二重积分的概念165

8.1.2 二重积分的性质167

8.1.3 二重积分的计算169

8.2 广义二重积分178

第9章 常微分方程及其应用182

9.1 微分方程的基本概念182

9.1.1 微分方程的引入182

9.1.2 微分方程基本概念183

9.2 一阶微分方程185

9.2.1 可分离变量的微分方程185

9.2.2 一阶线性微分方程187

9.3 可降阶的二阶微分方程191

9.4 二阶线性微分方程194

9.4.1 二阶线性微分方程解的结构194

9.4.2 二阶常系数线性齐次微分方程195

9.4.3 二阶常系数线性非齐次微分方程197

9.5 微分方程的应用199

9.5.1 人口模型及生态模型199

9.5.2 药物动力学中的一室模型202

9.5.3 流行病数学模型204