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绪论1

0.1微积分概论1

一、微积分的发展过程1

二、微积分研究的两个基本问题及方法2

三、微积分与初等数学的比较6

四、学习微积分的方法7

0.2初识符号计算系统Mathematica8

一、Mathematica的启动和运行9

二、Mathematica的输入及运算11

三、Mathematica的联机帮助系统14

习题0.216

阅读材料 微积分成果优先权的争论16

第一章 函数 极限与连续18

1.1函数的概念18

一、集合、区间与邻域18

二、函数的概念19

三、函数的几种特性21

习题1.122

1.2初等函数23

一、反函数23

二、复合函数25

三、初等函数25

四、双曲函数与反双曲函数26

习题1.228

1.3数列的极限29

一、数列极限的概念29

二、收敛数列的性质33

三、数列极限的四则运算法则35

四、数列极限存在准则39

习题1.341

1.4函数的极限43

一、自变量趋于无穷大时函数的极限43

二、自变量趋于有限值时函数的极限45

三、函数极限的性质48

习题1.449

1.5无穷小量与无穷大量50

一、无穷小量50

二、无穷大量51

三、无穷小量的运算定理52

习题1.554

1.6函数极限的运算法则55

习题 1.658

1.7夹逼准则 两个重要极限59

习题1.762

1.8无穷小量的比较63

习题1.866

1.9函数的连续性66

一、函数的连续性66

二、连续函数的运算法则69

三、初等函数的连续性70

四、函数的间断点70

习题1.972

1.10闭区间上连续函数的性质73

习题1.1075

1.11用Mathematica进行函数运算75

一、Mathematica中的数、运算符、变量与表达式75

二、常用函数78

三、自定义函数79

四、表80

习题1.1181

1.12用Mathematica考察函数的连续性82

一、函数求极限82

二、函数的间断点83

阅读材料 消失了的量的幽灵——第二次数学危机86

第二章 导数与微分88

2.1导数的概念88

一、导数概念的引入8

二、导数的定义89

三、求导函数举例91

四、导数的几何意义93

五、函数的可导性与连续性的关系94

习题2.195

2.2求导法则96

一、函数的和、差、积、商的求导法则96

二、复合函数的求导法则98

三、反函数的导数100

四、双曲函数与反双曲函数的导数102

五、初等函数的求导公式小结102

习题2.2103

2.3高阶导数105

习题2.3108

2.4隐函数的导数 由参数方程所确定的函数的导数109

一、隐函数的导数109

二、由参数方程所确定的函数的导数110

三、求导举例112

习题2.4114

2.5微分115

一、微分的概念115

二、微分的几何意义116

三、微分的运算法则117

习题2.5119

2.6导数与微分的简单应用119

一、导数的应用120

二、微分在近似计算中的应用122

习题2.6123

2.7用Mathematica进行求导运算124

一、初等函数求导数124

二、隐函数方程和参数方程确定的函数求导数125

习题2.7126

阅读材料 牛顿、莱布尼茨127

第三章 微分中值定理与导数的应用129

3.1微分中值定理129

一、罗尔（Rolle ）中值定理129

二、拉格朗日（Lagrange）中值定理131

三、柯西（Cauchy）中值定理134

习题3.1135

3.2洛必达（L Hospital）法则135

一、0/0型未定式135

二、？/？型未定式137

三、其他类型的未定式138

习题3.2140

3.3泰勒定理及其应用141

一、泰勒定理141

二、几个常用的麦克劳林公式144

三、泰勒公式的应用146

习题3.3148

3.4函数的单调性与极值148

一、函数单调性的判定148

二、函数的极值151

三、函数的最大值和最小值155

习题3.4158

3.5曲线的凹凸性与拐点159

一、曲线的凹凸性159

二、曲线的拐点160

习题3.5162

3.6函数图形的描绘162

一、曲线的渐近线163

二、依据函数特性作图164

习题3.6168

3.7导数在经济中的应用——边际分析与弹性分析168

一、边际与边际分析168

二、弹性与弹性分析173

习题3.7180

3.8方程的近似解182

一、二分法182

二、切线法183

习题3.8185

3.9用Mathematica做导数应用题185

习题3.9187

阅读材料法国大数学家——柯西、拉格朗日、罗尔188

第四章 不定积分191

4.1不定积分的概念与性质191

一、原函数与不定积分的概念191

二、不定积分的性质193

三、基本积分公式194

习题4.1195

4.2换元积分法195

一、第一类换元积分法196

二、第二类换元积分法201

习题4.2204

4.3分部积分法206

习题4.3209

4.4几种特殊类型函数的积分210

一、有理函数的积分211

二、三角函数有理式的积分215

三、简单无理函数的积分217

四、积分表的使用218

习题4.4219

阅读材料 西方数学的传入与中西合璧220

第五章 定积分222

5.1定积分的概念与性质222

一、定积分的实际背景222

二、定积分的概念224

三、定积分的几何意义225

四、定积分的基本性质226

习题5.1229

5.2微积分基本公式230

一、积分上限函数及其导数230

二、牛顿一莱布尼茨公式232

习题5.2234

5.3定积分的换元积分法235

习题5.3238

5.4定积分的分部积分法239

习题5.4241

5.5定积分的近似计算241

一、梯形法241

二、抛物线法242

习题5.5244

5.6反常积分245

一、无穷限反常积分245

二、无界函数的反常积分247

三、伽玛（Gamma）函数249

习题5.6250

5.7用Mathematica计算一元函数的积分251

一、定积分的近似计算251

二、不定积分与定积分的计算253

习题5.7253

阅读材料 微积分中的哲学思想253

第六章 定积分的应用256

6.1定积分的微元法256

6.2定积分的几何应用257

一、平面图形的面积257

二、体积261

习题6.2264

6.3定积分在经济管理中的应用265

一、已知总产量的变化率求总产量265

二、已知边际函数求总量函数265

习题6.3267

6.4用Mathematica做导数在几何上的应用题268

一、求平面图形的面积268

二、求平面曲线的弧长268

三、求旋转体的体积269

阅读材料 数学王子——高斯270

第七章 多元函数的微分法及其应用272

7.1空间直角坐标系272

一、空间点的直角坐标272

二、空间两点间的距离273

习题7.1274

7.2曲面及其方程275

一、曲面及其方程275

二、柱面276

习题7.2278

7.3多元函数的基本概念279

一、多元函数及其定义域279

二、二元函数的几何表示282

习题7.3282

7.4二元函数的极限与连续283

一、二元函数的极限283

二、二元函数的连续性285

习题7.4285

7.5二元函数的偏导数与全微分286

一、偏导数286

二、高阶偏导数288

三、偏导数在经济分析中的应用289

四、全微分及其应用291

习题7.5294

7.6多元复合函数与隐函数的求导法则295

一、多元复合函数的求导法则295

二、一阶全微分形式不变性297

三、隐函数的求导法则298

习题7.6299

7.7多元函数的极值与最大（小）值300

一、多元函数的极值300

二、有界闭区域上的最大值与最小值303

三、条件极值306

习题7.7308

7.8最小二乘法309

一、最小二乘原理309

二、多变量的数据拟合312

三、非线性曲线的数据拟合313

习题7.8315

7.9 Mathematica在多元函数微分学中的应用315

一、二元函数作图315

二、二次曲面的图形316

三、相交曲面的作图317

四、动画制作318

五、求多元函数的偏导数与全微分319

六、多元函数的极值320

习题7.9321

阅读材料 形与数统一——解析几何的创立321

第八章重积分323

8.1二重积分的概念与性质323

一、引例323

二、二重积分的概念325

三、二重积分的性质326

习题8.1328

8.2利用直角坐标计算二重积分329

一、X-型积分区域329

二、Y-型积分区域330

三、其他型积分区域331

习题8.2334

8.3利用极坐标计算二重积分335

习题8.3341

8.4二重积分的应用举例341

一、二重积分在经济管理中的应用342

二、二重积分在农业上的应用344

习题8.4347

8.5用Mathematica计算重积分347

习题8.5348

阅读材料 最多产的数学家——欧拉349

第九章 微分方程351

9.1微分方程的基本概念351

习题9.1353

9.2可分离变量的微分方程353

一、可分离变量的微分方程353

二、齐次微分方程357

习题9.2358

9.3一阶线性微分方程359

一、线性方程359

二、伯努利（Bernoulli）方程363

习题9.3364

9.4几种特殊类型的二阶微分方程365

一、y”=f（x）型的微分方程365

二、y”=f（x,y’）型的微分方程366

三、y”=f（y,y’）型的微分方程367

习题9.4370

9.5二阶常系数齐次线性微分方程370

习题9.5374

9.6二阶常系数非齐次线性微分方程374

一、f（x）=Pn（x）型376

二、f（x）=Pn（x）e？x型377

三、f（x）=（Acosβx+Bsinβx）型379

习题9.6383

9.7微分方程在经济和农业等方面的应用383

习题9.7387

9.8用Mathematica解常微分方程387

习题9.8388

阅读材料 星光闪耀的数学家族——伯努利家族388

第十章 无穷级数391

10.1常数项级数的概念和性质391

一、常数项级数的基本概念391

二、无穷级数的基本性质394

习题10.1397

10.2常数项级数的审敛法398

一、正项级数及其审敛法398

二、交错级数及其审敛法404

三、绝对收敛与条件收敛405

习题10.2406

10.3幂级数407

一、函数项级数的一般概念407

二、幂级数及其收敛性408

三、幂级数的运算与和函数的性质411

习题10.3414

10.4函数展开成幂级数414

一、泰勒级数415

二、函数展开成幂级数415

三、函数的幂级数展开式的应用418

习题10.4422

10.5用Mathematica进行级数运算422

一、数项级数422

二、求幂级数的收敛域423

三、函数的幂级数展开424

习题10.5425

阅读材料 趣味级数——调和级数425

附录A 初等数学常用公式428

附录B 几种常用的曲线432

附录C 符号计算系统Mathematica的常用系统函数435

附录D 积分表447

习题参考答案456

参考文献478