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第一章 曲线论1

1 向量代数复习1

2 向量函数6

2.1 向量函数的极限6

2.2 向量函数的连续性9

2.3 向量函数的微商10

2.4 定长向量15

2.5 向量函数的积分16

3.1 曲线的概念17

3 曲线的概念17

3.2 曲线的切向量 曲线的正则点20

3.3 曲线的弧长 弧长参数23

4 空间曲线29

4.1 密切平面29

4.2 基本三面形30

4.3 曲率和挠率32

4.4 Frenet公式40

4.5 曲线在一点邻近的结构42

4.6 空间曲线论基本定理曲线的自然方程51

5.1 平面曲线60

5 特殊曲线60

5.2 渐伸线和渐缩线70

5.3 ＊Bertrand曲线75

第二章 曲面论81

1 曲面的概念81

1.1 曲面的参数表示81

1.2 曲面的切平面和法线83

2 曲面的第一基本形式91

2.1 第一基本形式91

2.3 曲面上两相交曲线的夹角92

2.2 曲面上曲线的弧长92

2.4 曲面域的面积94

2.5 等距对应99

2.6 保形对应103

2.7 曲面上的正交参数曲线网109

3 曲面的第二基本形式111

3.1 第二基本形式111

3.2 曲面上曲线的曲率115

3.3 杜班（Dupin）指标线Euler公式116

3.4 渐近方向和共轭方向120

3.5 曲面的主方向和曲率线124

3.6 曲面的主曲率132

3.7 Gauss曲率与平均曲率133

3.8 曲面在一点邻近的结构141

4 直纹面 可展曲面与单参数曲面族的包络面145

4.1 直纹面145

4.2 可展曲面147

4.3 单参数曲面族（平面族）的包络面150

4.4 可展曲面的重要特征155

5.1 曲面的基本公式Christoffel符号160

5 曲面论的基本定理160

5.3 Riemann曲率张量171

5.4 曲面论的基本定理176

6 曲面上的测地线190

6.1 曲面上曲线的测地曲率190

6.2 曲面上的测地线196

5.2 曲面的基本方程197

6.3 可展曲面上测地线的一种计算法203

6.4 曲面上的半测地坐标系和极坐标系＊207

6.5 Gauss——Bonnet公式213

7 特殊曲面218

7.1 常Gauss曲率的曲面…伪球面、罗氏几何、常Gauss曲率的旋转曲面＊218

7.2 极小曲面231

8 曲面上向量的平行动移236

8.1 Levi—Civita平移236

8.2 Causs曲率的一项几何意义238

第三章 外微分形式和活动标架法243

1 外微分形式243

1.1 格拉斯曼（Grassmann）代数243

1.2 外微分形式246

1.3 Frobenius条件257

2 活动标架278

2.1 活动标架和结构方程278

2.2 活动标架法284

3 用活动标架法研究曲面291

3.1 曲面论的基本定理291

3.2 曲面的第一、第二基本形式292

3.3 曲面上的曲率293

3.4 曲面上的Levi——Civita平行移动298

附录306