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第1章　引论1

1.1　算法1

1.1.1　研究算法的意义1

1.1.2　算法2

1.1.3　多项式求值的秦九韶方法3

1.1.4　方程求根的二分法4

1.2　误差6

1.2.1　误差分析6

1.2.2　误差的来源7

1.2.3　误差限和有效数字8

1.2.4　相对误差限与有效数字的联系9

1.2.5　数值计算中应注意的几个原则9

1.2.6　算法的评价标准12

习题一12

第2章　插值方法14

2.1　泰勒插值14

2.2　拉格朗日插值公式15

2.2.1　拉格朗日插值待定系数方法15

2.2.2　拉格朗日插值计算公式16

2.2.3　拉格朗日插值余项公式19

2.3　牛顿插值公式19

2.3.1　差商及其性质19

2.3.2　差商形式的插值公式20

2.4　埃尔米特（Hermite）插值21

2.5　分段插值22

2.5.1　高次插值的龙格现象22

2.5.2　分段插值方法23

2.6　样条函数23

2.6.1　样条函数的概念23

2.6.2　三次样条插值24

2.7　曲线拟合的最小二乘法26

2.7.1 直线拟合26

2.7.2　多项式拟合27

2.7.3 一点注记27

2.8　实例——冶炼钢中含碳量与时间模型29

习题二30

第3章　数值积分33

3.1　机械求积33

3.1.1　数值求积的基本思想33

3.1.2　代数精度的概念34

3.1.3　插值型的求积公式35

3.2　牛顿-柯特斯公式37

3.2.1　公式的导出37

3.2.2　几种低阶求积公式的代数精度38

3.2.3　几种低阶求积公式的余项38

3.2.4　复化求积法39

3.3　龙贝格算法41

3.3.1　梯形法的递推化41

3.3.2　龙贝格算法42

3.4　高斯公式45

3.4.1　高精度求积公式45

3.4.2　高斯点的基本特征45

3.4.3　勒让德多项式46

3.5　数值微分47

3.5.1 中点方法47

3.5.2　插值型的求导公式48

3.6　实例——计算人造卫星的轨道周长49

习题三49

第4章 常微分方程数值解52

4.1 引言52

4.2　欧拉法52

4.2.1　欧拉公式52

4.2.2　隐式欧拉法55

4.2.3　两步欧拉法56

4.3　改进的欧拉法56

4.3.1　梯形法56

4.3.2　改进欧拉公式57

4.4　龙格-库塔法58

4.4.1 龙格-库塔法的基本思想58

4.4.2　二阶龙格-库塔法59

4.4.3　三阶龙格-库塔法60

4.4.4　四阶龙格-库塔法61

4.5　线性多步法63

4.5.1　线性多步法的构造63

4.5.2　Adams预报校正公式66

4.6　收敛性与稳定性66

4.6.1 收敛性66

4.6.2　稳定性67

4.7　方程组与高阶方程的情形68

4.7.1　一阶方程组68

4.7.2　化高阶方程为一阶方程组70

4.7.3　一点注记70

4.8　实例——捕食者和被捕食者模型73

习题四74

第5章　有限元法76

5.1　边值问题的变分形式76

5.1.1　二次泛函的极值76

5.1.2　边值问题转化为变分问题77

5.2　瑞兹-伽略金方法80

5.3　有限元法82

5.3.1　从瑞兹法出发进行推导83

5.3.2　从伽略金法出发进行推导84

5.4　实例介绍86

习题五89

第6章　非线性方程的数值解法91

6.1　迭代原理91

6.1.1　迭代法基本思想91

6.1.2　迭代过程的收敛性92

6.1.3　迭代过程的收敛速度94

6.2　迭代过程的加速95

6.2.1　迭代公式的加工95

6.2.2　埃特金算法96

6.3　牛顿法97

6.3.1　公式导出97

6.3.2　应用举例99

6.3.3　牛顿下山法99

6.4　弦截法100

6.5　实例——悬链线方程的参数确定问题101

习题六102

第7章 线性方程组的数值解法104

7.1 迭代法104

7.1.1　雅可比迭代法104

7.1.2　高斯-赛德尔迭代法106

7.1.3　超松弛迭代法107

7.1.4　迭代公式的矩阵表示107

7.2　向量和矩阵的范数108

7.2.1　向量的范数108

7.2.2　矩阵的范数109

7.2.3　矩阵的谱半径110

7.3　迭代过程的收敛性110

7.3.1　迭代收敛的充分条件110

7.3.2　对角占优方程组112

7.4 消去法112

7.4.1　约当消去法112

7.4.2　高斯消去法114

7.4.3　选主元法115

7.5　追赶法117

7.5.1　三对角方程组117

7.5.2　追赶法的计算公式117

7.5.3　追赶法的代数基础118

7.6 误差分析120

7.6.1　方程组的病态120

7.6.2　精度分析121

7.7　实例——小行星轨道问题122

习题七123

自测题一126

自测题二128

参考答案130

附录 实验指导144

实验一　插值法144

实验二　数值积分149

实验三　常微分方程152

实验四　方程求根155

实验五　线性方程组的解法159

参考文献162