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第1章 引论1

1.1 微分方程的概念和实例1

1.1.1 导出微分方程的一些实际例子1

1.1.2 微分方程的概念3

1.1.3 微分方程的发展6

习题1.18

1.2 解的存在唯一性9

1.2.1 例子和思路10

1.2.2 存在唯一性定理及其证明12

1.2.3 存在唯一性定理的说明及例子16

习题1.220

1.3 一阶微分方程的向量场22

1.3.1 向量场22

1.3.2 积分曲线的图解法26

习题1.328

复习题128

第2章 一阶微分方程32

2.1 线性方程32

2.1.1 线性齐次方程32

2.1.2 线性非齐次方程33

2.1.3 Bernoulli方程36

2.1.4 线性微分方程的应用举例37

习题2.140

2.2 变量可分离的方程42

2.2.1 变量可分离方程的求解42

2.2.2 齐次方程44

2.2.3 变量可分离方程的应用46

习题2.249

2.3 全微分方程51

2.3.1 全微分方程的定义与充要条件51

2.3.2 全微分方程的积分54

2.3.3 积分因子56

习题2.361

2.4 变量替换法63

2.4.1 形如dy/dx=f（ax+by+c）的方程63

2.4.2 形如yf(xy)dx+xg(xy)dy=0的方程64

2.4.3 其他变换举例65

2.4.4 Riccati方程67

习题2.470

2.5 一阶隐式微分方程71

2.5.1 可解出y或x的方程与微分法71

2.5.2 不显含x或y的方程与参数法75

2.5.3 奇解与包络78

习题2.580

2.6 近似解法81

2.6.1 逐次迭代法81

2.6.2 Taylor级数法83

2.6.3 Euler折线法85

习题2.688

2.7 一阶微分方程的应用88

2.7.1 曲线族的等角轨线89

2.7.2 放射性废物的处理问题91

2.7.3 我国人口的发展预测92

习题2.794

复习题295

第3章 二阶及高阶微分方程99

3.1 可降阶的高阶方程99

3.1.1 不显含未知函数x的方程99

3.1.2 不显含自变量t的方程100

3.1.3 全微分方程和积分因子101

3.1.4 可降阶的高阶方程的应用举例102

习题3.1108

3.2 线性微分方程的基本理论109

3.2.1 线性微分方程的有关概念109

3.2.2 齐次线性方程解的性质和结构111

3.2.3 非齐次线性方程解的结构117

习题3.2120

3.3 线性齐次常系数方程121

3.3.1 复值函数121

3.3.2 常系数齐次线性方程123

3.3.3 某些变系数线性齐次微分方程的解法128

习题3.3130

3.4 线性非齐次常系数方程的待定系数法132

3.4.1 非齐次项为多项式的情形132

3.4.2 非齐次项为多项式与指数函数之积的情形134

3.4.3 非齐次项为多项式与指数函数、正余弦函数之积的情形135

习题3.4138

3.5 高阶微分方程的应用138

3.5.1 机械振动138

3.5.2 RLC电路142

习题3.5145

复习题3146

第4章 微分方程组148

4.1 微分方程组的概念148

4.1.1 微分方程组的实例及有关概念148

4.1.2 函数向量和函数矩阵152

4.1.3 微分方程组解的存在唯一性定理156

习题4.1158

4.2 微分方程组的消元法和首次积分法160

4.2.1 微分方程组的消元法160

4.2.2 微分算子与线性微分方程组162

4.2.3 微分方程组的首次积分法164

习题4.2167

4.3 线性微分方程组的基本理论168

4.3.1 线性齐次方程组解的结构168

4.3.2 非齐次线性微分方程组解的结构176

习题4.3179

4.4 常系数齐次线性微分方程组180

4.4.1 系数矩阵A有单特征根时的解180

4.4.2 系数矩阵A具有重特征根时的解185

4.4.3 矩阵指数函数的定义和性质192

习题4.4198

4.5 常系数非齐次线性微分方程组199

4.5.1 常数变易法199

4.5.2 线性变换法201

4.5.3 待定系数法203

习题4.5207

4.6 微分方程组应用举例208

4.6.1 两个弹簧和物体的竖直运动209

4.6.2 复杂电路的计算210

4.6.3 人造卫星的轨道方程211

习题4.6216

复习题4217

第5章 非线性微分方程组221

5.1 非线性方程研究的例子与概念221

5.1.1 例子221

5.1.2 自治微分方程与非自治微分方程、动力系统223

5.1.3 基本定义225

习题5.1231

5.2 自治微分方程组解的性质231

5.2.1 自治系统轨线的特点232

5.2.2 自治系统解的基本性质234

习题5.2237

5.3 平面线性系统的奇点及相图238

5.3.1 几个线性系统的计算机相图239

5.3.2 平面线性系统的初等奇点242

习题5.3248

5.4 几乎线性系统解的稳定性250

5.4.1 平面几乎线性系统的稳定性250

5.4.2 高维几乎线性微分方程组的稳定性257

习题5.4260

5.5 Lyapunov第二方法262

5.5.1 定号函数262

5.5.2 稳定性基本定理263

5.5.3 稳定性定理的几何意义267

5.5.4 二次型形式的V函数267

习题5.5268

5.6 二维自治微分方程组的周期解和极限环270

5.6.1 周期解与极限环270

5.6.2 极限环的存在性273

5.6.3 极限环的不存在性274

5.6.4 极限环的稳定性275

习题5.6276

复习题5276

第6章 Maple简介与应用279

6.1 Maple的基本功能279

6.1.1 Maple的工作环境279

6.1.2 Maple的基本运算280

6.1.3 多项式282

6.1.4 转换为其他语言282

6.2 微积分运算283

6.2.1 极限和连续284

6.2.2 导数和极值284

6.2.3 积分285

6.2.4 级数和积分变换286

6.3 线性代数287

6.3.1 矩阵的建立和基本运算287

6.3.2 矩阵的初等变换和线性方程组求解288

6.3.3 矩阵的特征值、特征向量和相似290

6.4 图形291

6.4.1 二维图形291

6.4.2 三维绘图293

6.4.3 动画295

6.5 方程求解297

6.5.1 代数方程297

6.5.2 常微分方程求解298

6.5.3 微分方程的向量场301

6.6 Maple编程302

6.6.1 子程序302

6.6.2 几种常用的程序结构303

6.6.3 Maple在微分方程中的应用举例304

参考文献308