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第1章 命题逻辑1

1.1 命题和联结词1

1.1.1 命题的概念1

1.1.2 联结词2

1.2 合式公式与真值表7

1.2.1 合式公式7

1.2.2 真值表8

1.3 永真式和等价式9

1.3.1 永真式9

1.3.2 等价式10

1.3.3 代入规则和替换规则11

1.4 对偶式与蕴涵式12

1.4.1 对偶式12

1.4.2 蕴涵式14

1.5 范式和判定问题15

1.5.1 析取范式和合取范式15

1.5.2 主析取范式和主合取范式17

1.6 命题演算的推理理论20

1.7 基于布尔逻辑的信息检索24

1.7.1 布尔逻辑运算符24

1.7.2 应用技巧26

习题26

第2章 谓词逻辑30

2.1 基本概念和表示30

2.1.1 个体、谓词和谓词形式30

2.1.2 量词32

2.1.3 合式谓词公式33

2.1.4 自由变元和约束变元34

2.2 谓词逻辑的翻译与解释35

2.2.1 谓词逻辑的翻译35

2.2.2 谓词公式的解释36

2.3 谓词逻辑的等价式与蕴涵式36

2.4 谓词逻辑中的推论理论39

2.4.1 推理规则39

2.4.2 推理实例40

2.5 谓词逻辑中公式范式44

2.5.1 前束范式44

2.5.2 斯柯林范式45

2.6 谓词逻辑的应用46

习题47

第3章 集合论50

3.1 集合的概念及其表示51

3.2 集合的运算及恒等式53

3.3 有穷集的计数和包含排斥原理58

习题62

第4章 二元关系65

4.1 多重序元与笛卡儿乘积65

4.2 关系的基本概念67

4.3 关系的运算68

4.4 关系的性质74

4.5 关系的表示76

4.6 关系的闭包运算81

4.7 特殊关系85

4.7.1 集合的划分和覆盖85

4.7.2 等价关系86

4.7.3 相容关系91

4.7.4 次序关系94

4.7.5 偏序集合与哈斯图97

4.8 关系型数据库与非关系型数据库99

4.8.1 关系型数据库99

4.8.2 非关系型数据库101

习题102

第5章 函数108

5.1 函数的基本概念和性质108

5.2 函数的合成和合成函数的性质111

5.3 特殊函数113

5.4 反函数115

5.5 特征函数118

5.6 基数120

5.7 不可解问题122

5.7.1 不可解问题的存在性123

5.7.2 停机问题123

习题124

第6章 代数系统127

6.1 代数系统的一般概念128

6.1.1 二元运算128

6.1.2 代数系统129

6.2 代数系统的基本性质130

6.3 同态与同构137

6.3.1 同态138

6.3.2 同构140

6.3.3 同态与同构的性质144

6.4 同余关系144

6.5 商代数146

6.6 积代数146

6.7 云环境中的数据安全之同态计算148

6.7.1 云计算中的同态计算148

6.7.2 数据安全的同态计算过程149

6.7.3 同态计算在数据安全中的主要应用149

习题149

第7章 群与环152

7.1 半群152

7.2 群154

7.2.1 群的概念154

7.2.2 群的性质156

7.3 子群与群的陪集分解159

7.3.1 子群159

7.3.2 子群的判定159

7.3.3 子群的性质160

7.3.4 子群的陪集分解161

7.3.5 拉格朗日定理164

7.4 循环群与置换群164

7.4.1 循环群165

7.4.2 置换群166

7.5 群的同态与同构167

7.6 环与域168

7.6.1 环的概念与性质168

7.6.2 域的概念169

7.7 群理论的应用170

7.7.1 群与网络安全170

7.7.2 群与纠错编码171

习题173

第8章 格与布尔代数176

8.1 格的定义与性质177

8.2 分配格、有补格与布尔代数179

8.3 应用180

习题181

第9章 图的基本概念及其矩阵表示183

9.1 图的基本概念184

9.1.1 图的定义及相关概念184

9.1.2 结点的度186

9.2 子图和图的运算188

9.2.1 子图和补图189

9.2.2 图的运算190

9.3 路径、回路和连通性192

9.3.1 路径和回路192

9.3.2 图的连通性195

9.4 图的矩阵表示198

9.4.1 邻接矩阵198

9.4.2 可达性矩阵203

9.4.3 关联矩阵206

9.5 图论在社会网络分析中的应用208

习题209

第10章 几种特殊图215

10.1 欧拉图215

10.2 哈密尔顿图218

10.3 二部图及匹配220

10.3.1 二部图的概念及性质220

10.3.2 二部图匹配222

10.4 平面图224

10.4.1 平面图的概念及性质224

10.4.2 多边形图、对偶图及平面图着色226

10.5 网络229

10.5.1 网络的基本概念230

10.5.2 网络流231

10.5.3 网络最大流求解232

10.5.4 开关网络239

10.6 图的实例分析247

10.6.1 中国邮递员问题247

10.6.2 旅行售货员问题249

10.6.3 排课问题250

10.6.4 时延容忍网络问题252

10.6.5 最短路径问题253

习题256

第11章 树260

11.1 树与生成树260

11.1.1 树及其性质260

11.1.2 生成树与最小生成树262

11.2 有向树及其应用264

11.2.1 有向树264

11.2.2 m叉树265

11.2.3 有序树267

11.2.4 二叉树的遍历269

11.2.5 搜索树270

习题273

参考文献276