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第1章 多项式1

1.1多项式的概念与运算1

一、多项式的基本概念1

二、多项式的运算1

1.2多项式的整除2

一、带余除法及其计算2

二、整除5

三、最大公因式及其求法6

四、多项式的互素7

1.3多项式的因式分解9

一、不可约多项式9

二、k重因式11

三、多项式函数12

四、一般数域上的因式分解及根的性质15

五、复数域上多项式的因式分解及根的性质16

六、实数域上多项式的因式分解及根的性质17

七、有理数域上多项式的因式分解及根的性质18

第2章 行列式24

2.1用定义计算行列式24

2.2求行列式的若干方法25

一、三角化法26

二、用行列式的性质化为已知行列式26

三、滚动相消法27

四、拆分法29

五、加边法31

六、归纳法32

七、利用递推降级法33

八、利用重要公式与结论35

九、用幂级数变换计算行列式36

2.3利用降级公式计算行列式42

2.4有关行列式的证明题48

2.5一个行列式的计算与推广51

一、Dn的计算51

二、问题的推广54

第3章 线性方程组56

3.1线性相关性（Ⅰ）56

一、线性相关56

二、线性无关57

三、综合性问题61

3.2矩阵的秩64

3.3线性方程组的解67

一、线性方程组的几种表示形式67

二、线性方程组有解的判定及解的个数68

三、线性方程组解的结构70

第4章 矩阵81

4.1矩阵的基本运算81

一、矩阵的加法和数乘81

二、矩阵的乘法82

三、矩阵的转置83

四、矩阵的伴随84

4.2矩阵的逆87

一、矩阵逆的性质87

二、矩阵逆的求法（Ⅰ）88

三、矩阵不可逆的证明方法89

四、矩阵多项式的逆（Ⅱ）89

4.3矩阵的分块91

一、分块阵的乘法及其应用91

二、分块阵的广义初等变换92

三、关于分块阵的逆（Ⅲ）92

4.4初等矩阵94

一、初等矩阵及其性质94

二、初等变换的应用96

三、矩阵的等价98

4.5若干不等式99

一、Steinitz替换定理及其应用99

二、利用整齐与局部的思想（实例）100

第5章 二次型104

5.1二次型与矩阵104

一、二次型的概念及其表示104

二、二次型与对称矩阵105

5.2标准形与规范形106

一、标准形106

二、规范形及其唯一性110

三、（反）对称矩阵（Ⅱ）111

5.3正定二次型的判定（Ⅰ）113

一、正定二次型的判定113

二、正定矩阵的判定115

5.4其他各类二次型118

一、负定二次型118

二、半正（负）定二次型119

5.5不等式与二次型（实例）120

第6章 线性空间122

6.1线性空间的定义122

一、用定义证明线性空间122

二、几个常用的线性空间122

三、向量组的线性相关性123

6.2基与维数·变换公式124

一、基与维数的求法124

二、变换公式（Ⅰ）126

三、坐标的求法127

6.3子空间及其运算128

一、子空间的判定128

二、子空间的运算131

三、直和的证明134

四、子空间的性质134

6.4不等式138

第7章 线性变换140

7.1线性变换及其运算140

一、线性变换的判定及其性质140

二、线性变换的多项式141

7.2线性变换与矩阵143

一、线性变换的矩阵143

二、一一对应关系144

三、矩阵的相似146

四、变换公式（Ⅱ）147

7.3矩阵（线性变换）的特征值与特征向量150

一、矩阵特征值与特征向量求法150

二、矩阵特征值的和与积154

三、代数重数与几何重数155

四、扰动法155

7.4线性变换（矩阵）的对角化问题（Ⅰ）158

一、利用特征向量判定158

二、利用特征值判定159

7.5不变子空间162

一、不变子空间的判定162

二、特征子空间164

三、值域165

四、核165

7.6线性空间的分解171

一、多项式理论与线性空间分解初步171

二、线性空间的分解173

第8章 λ-矩阵175

8.1 λ-矩阵的有关概念及结论175

一、λ-矩阵的相关概念175

二、不变因子，行列式因子与初等因子176

8.2矩阵相似的条件178

一、矩阵相似与λ-矩阵等价之间的关系178

二、矩阵相似的充要条件179

8.3矩阵的Jordan标准形180

一、Jordan标准形及其求法180

二、Jordan块的性质及其应用183

8.4 Jordan标准形的相似过渡阵的求法190

8.5最小多项式196

一、最小多项式及其性质196

二、最小多项式的求法197

三、最小多项式的应用（实例）201

8.6矩阵的对角化问题203

一、利用最小多项式判定矩阵的对角化203

二、常见的几类可对角化矩阵204

8.7矩阵方幂的若干求法205

一、秩为1的情况205

二、可分解为数量矩阵和幂零矩阵之和的情况206

三、归纳法（实例）207

四、利用相似变换法208

五、特征多项式法（或最小多项式法）209

六、利用Jordan标准形（实例）210

第9章 欧几里得空间213

9.1欧氏空间及其基本性质213

一、欧氏空间的基本概念213

二、不等式215

三、度量矩阵及其性质216

9.2标准正交基218

一、标准正交基及其性质218

二、标准正交基的求法219

三、正交矩阵及其性质221

9.3子空间223

一、子空间的正交及其性质223

二、正交补224

9.4欧氏空间上的线性变换226

一、正交变换226

二、对称变换228

三、反对称变换229

四、（反）对称矩阵（Ⅲ）229

9.5矩阵分解233

一、加法分解233

二、乘法分解235

三、特殊矩阵的分解237

练习答案241