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第一章 绪论1

1.1 算法1

1.1.1 算法的表述形式1

1.1.2 算法的基本特点1

1.2 误差3

1.2.1 误差的来源3

1.2.2 误差的基本概念4

1.2.3 有效数字5

1.3 设计算法时应注意的原则6

1.3.1 数值运算时误差的传播6

1.3.2 算法中应避免的问题7

习题一8

第二章 线性方程组的直接解法9

2.1 引言9

2.2 高斯消元法9

2.2.1 高斯消元法的基本思想9

2.2.2 高斯消元法公式10

2.2.3 高斯消元法的条件12

2.2.4 高斯消元法的计算量估计12

2.3 选主元的高斯消元法13

2.3.1 列主元消元法13

2.4 高斯-若当(Gauss-Jordan)消元法14

2.3.2 全主元消元法14

2.4.1 高斯-若当消元法15

2.4.2 求方阵的逆16

2.5 矩阵的 LU 分解17

2.5.1 矩阵的 LU 分解17

2.5.2 直接 LU 分解18

2.5.3 方阵行列式求法20

2.6.1 矩阵的 LDU 分解21

2.6.2 对称正定矩阵的乔累斯基分解21

2.6 平方根法21

2.5.4 克劳特分解21

2.6.3 平方根法和改进的平方根法22

2.7 追赶法23

2.8 向量和矩阵的范数25

2.8.1 向量范数25

2.8.2 矩阵范数26

2.8.3 谱半径27

2.8.4 条件数及病态方程组28

习题二31

3.2.1 简单迭代法33

3.2 几种常用的迭代法公式33

3.1 迭代法的一般形式33

第三章 线性方程组的迭代解法33

3.2.2 塞德尔迭代法35

3.2.3 逐次超松弛法(SOR方法)36

3.3 迭代法的收敛条件37

3.3.1 迭代法的一般形式的收敛条件37

3.3.2 从矩阵 A 判断收敛的条件40

习题三43

4.1 幂法和反幂法45

4.1.1 幂法45

第四章 方阵特征值和特征向量计算45

4.1.2 幂法的其他复杂情况46

4.1.3 反幂法47

4.1.4 原点平移加速48

4.1.5 求已知特征值的特征向量49

4.2 雅可比方法50

4.2.1 平面旋转矩阵51

4.2.2 古典雅可比方法53

4.2.3 过关雅可比方法53

4.3 QR 方法55

4.3.1 豪斯豪德尔变换55

4.3.2 化一般矩阵为拟上三角矩阵56

4.3.3 矩阵的正交三角分解57

4.3.4 QR 方法58

习题四59

第五章 方程求根60

5.1 对分法60

5.2 迭代法62

5.2.1 迭代法的基本思想62

5.2.2 迭代法的几何解释63

5.2.3 迭代法的收敛条件63

5.3.1 松弛法65

5.3 迭代法的加速65

5.3.2 埃特金方法66

5.4 牛顿法68

5.4.1 牛顿法的基本思想68

5.4.2 牛顿法的几何意义68

5.4.3 迭代法的收敛速度69

5.4.4 牛顿法的收敛速度69

5.5 割线法70

5.6 抛物线法70

习题五72

6.1.1 线性插值74

6.1 拉格朗日插值74

第六章 插值法与数值微分74

6.1.2 二次插值75

6.1.3 n 次插值76

6.2 插值多项式的唯一性及误差估计77

6.2.1 插值多项式的唯一性77

6.2.2 插值公式的余项77

6.3 牛顿插值79

6.3.1 差商79

6.3.2 牛顿插值公式80

6.4.1 埃尔米特插值多项式82

6.4 埃尔米特插值82

6.4.2 误差估计83

6.5 分段插值85

6.5.1 分段线性插值86

6.5.2 分段埃尔米特插值87

6.6 样条插值89

6.6.1 样条插值的基本概念89

6.6.2 样条插值公式89

6.6.3 样条插值的收敛性91

6.7 数值微分91

习题六93

7.1.2 函数逼近96

7.1.1 数据拟合96

第七章 数据拟合和函数逼近96

7.1 拟合与逼近的概念96

7.2 超定方程组的最小二乘解97

7.3 多项式拟合98

7.4 多项式拟合中克服正规方程组的病态101

7.5 最佳一致逼近多项式103

7.5.1 线性赋范空间103

7.5.2 最佳一致逼近多项式103

7.5.3 最佳一致逼近多项式的特征103

7.6.1 内积和内积空间105

7.6 最佳平方逼近多项式105

7.6.2 最佳平方逼近多项式106

7.7 正交多项式系108

7.7.1 正交函数系108

7.7.2 正交多项式系108

7.7.3 正交多项式在逼近和拟合中的应用111

7.8 近似最佳一致逼近多项式112

7.8.1 切比雪夫多项式的性质112

7.8.2 切比雪夫节点插值113

7.8.3 缩减幂级数法114

习题七115

第八章 数值积分117

8.1 求积公式117

8.1.1 求积公式117

8.1.2 求积公式的余项和代数精度117

8.1.3 矩形求积公式118

8.1.4 内插求积公式118

8.2 牛顿-柯特斯公式119

8.2.1 梯形公式119

8.2.2 抛物形公式120

8.2.3 牛顿-柯特斯公式121

8.3 复化求积公式123

8.3.1 复化梯形公式123

8.3.2 复化抛物形公式126

8.4 龙贝格求积公式127

8.5 高斯型求积公式130

8.5.1 最高代数精度的求积公式130

8.5.2 几个常用的高斯型求积公式132

习题八136

9.1.1 基本知识复习137

9.1.2 一阶常微分方程组和高阶常微分方程137

9.1 引言137

第九章 常微分方程初值问题的数值解法137

9.2 欧拉方法138

9.2.1 欧拉方法的导出138

9.2.2 欧拉隐式公式和欧拉中点公式139

9.2.3 局部截断误差和方法的阶139

9.2.4 梯形公式及其预估-校正法140

9.3 龙格-库塔法142

9.3.1 二阶 R-K 方法142

9.3.2 四阶 R-K 方法144

9.4.1 用待定系数法构造线性多步法145

9.4 线性多步法145

9.4.2 用数值积分法构造线性多步法公式148

9.5 预估-校正法149

9.5.1 阿达姆斯公式的 PEC 模式150

9.5.2 阿达姆斯公式的 PMECME 模式150

9.5.3 哈明法-PMECME 模式151

9.6 一阶常微分方程组和高阶方程152

9.6.1 一阶常微分方程组152

9.6.2 高阶常微分方程152

9.7 收敛性与稳定性简介153

习题九154

参考书目156