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第1篇 引论1

第1章 极限1

1.1 函数1

1.1.1 变量1

1.1.2 函数2

1.1.3 函数的几何表示（函数的图形）4

1.1.4 函数的运算5

1.1.5 反函数5

1.1.6 特殊的函数类8

1.1.7 初等函数10

习题1.112

1.2 数列的极限14

习题1.220

1.3 数列极限的运算法则21

习题1.324

1.4 数列极限存在的准则，几个重要极限24

习题1.428

1.5 数项级数28

习题1.534

1.6 非负级数与变号级数34

1.6.1 非负级数34

1.6.2 变号级数41

习题1.647

1.7 函数的极限49

1.7.1 六种连续变化的基本极限过程49

1.7.2 函数极限的定义50

1.7.3 极限的性质54

1.7.4 极限的运算法则54

1.7.5 函数极限的存在准则，几个重要极限55

习题1.759

1.8 无穷小量与无穷大量60

1.8.1 无穷小量60

1.8.2 无穷大量61

习题1.862

1.9 无穷小量与无穷大量的阶62

习题1.967

数学实验1 数列的极限68

数学实验2 函数的极限69

第2章 连续函数71

2.1 连续与间断71

习题2.174

2.2 闭区间上连续函数的性质75

习题2.276

2.3 连续函数的运算，初等函数的连续性76

习题2.379

2.4 一致连续性80

习题2.481

数学实验3 连续函数82

第2篇 一元函数的微积分84

第3章 导数与微分84

3.1 导数概念84

3.1.1 非匀速运动物体的瞬时速度84

3.1.2 非均匀棒的局部密度85

3.1.3 导数的定义86

3.1.4 求导数举例87

3.1.5 导数的几何意义88

3.1.6 导数存在问题，可导与连续的关系90

习题3.192

3.2 求导法则94

习题3.2101

3.3 隐函数和由参数方程确定的函数的导数102

3.3.1 隐函数及其求导102

3.3.2 由参数方程确定的函数的求导104

习题3.3107

3.4 微分109

习题3.4113

3.5 高阶导数与高阶微分114

习题3.5119

第4章 微分学基本定理121

4.1 微分中值定理121

习题4.1126

4.2 Taylor公式127

习题4.2134

4.3 L'Hospital法则135

习题4.3139

4.4 幂级数及函数的幂级数展开式139

4.4.1 幂级数140

4.4.2 函数的幂级数展开式及其应用148

习题4.4157

第5章 微分学对函数研究的应用160

5.1 函数单调性的判别160

习题5.1163

5.2 函数的极值164

5.2.1 局部极值与整体极值164

5.2.2 局部极值点的必要条件与充分条件164

5.2.3 关于整体极值168

习题5.2170

5.3 函数的凹、凸与扭转170

习题5.3174

5.4 函数作图175

5.4.1 垂直渐近线176

5.4.2 水平渐近线176

5.4.3 斜渐近线176

习题5.4180

5.5 曲率与曲率圆181

5.5.1 弧微分公式181

5.5.2 平面曲线的曲率182

5.5.3 密切圆184

习题5.5186

5.6 非线性方程的近似解186

5.6.1 弦位法187

5.6.2 Newton法190

5.6.3 综合法191

习题5.6192

5.7 微分学应用举例193

5.7.1 光的反射与折射定律193

5.7.2 极坐标方程表示的曲线的作图197

5.7.3 森林砍伐的最佳时机201

数学实验4 线性函数的迭代205

数学实验5 求解方程的迭代方法206

第6章 Riemann积分210

6.1 Riemann积分的概念210

6.2 积分存在的条件216

习题6.2221

6.3 积分的性质221

习题6.3225

6.4 Newton-Leibnitz公式（微积分基本定理）226

习题6.4233

6.5 Riemann积分的等价定义235

第7章 Riemann积分的计算237

7.1 原函数与不定积分的简单计算237

7.1.1 基本积分表237

7.1.2 简单的积分法则238

习题7.1239

7.2 换元公式240

习题7.2249

7.3 分部积分公式252

习题7.3259

7.4 特殊函数类的不定积分261

7.4.1 有理函数的积分261

7.4.2 三角函数有理式的积分263

7.4.3 简单无理函数的积分266

习题7.4267

7.5 不能用初等函数表示的积分269

习题7.5274

7.6 定积分的近似计算274

7.6.1 矩形公式275

7.6.2 梯形公式275

7.6.3 Simpson公式276

习题7.6277

7.7 广义积分278

7.7.1 广义积分的收敛与发散278

7.7.2 广义积分的收敛判别法281

7.7.3 再论非负级数的敛散285

习题7.7291

7.8 Newton二项式展开在收敛圆端点的敛散性293

数学实验6 调和级数与Euler常数γ295

数学实验7 数值积分299

第8章 积分应用（一）——经典问题的统一处理303

8.1 几何应用304

8.1.1 平面图形的面积304

8.1.2 曲线的弧长308

习题8.1（1）311

8.1.3 立体的体积312

8.1.4 旋转体的侧面积316

习题8.1（2）318

8.2 力学、物理中的应用319

8.2.1 重心坐标319

8.2.2 功的计算320

8.2.3 流体压力322

8.2.4 函数的平均值323

8.2.5 其它应用324

习题8.2327

第9章 积分应用（二）——常微分方程初等解法329

9.1 例子与基本概念329

9.1.1 现实生活中的常微分方程329

9.1.2 一些基本概念335

习题9.1338

9.2 一阶常微分方程的初等解法339

9.2.1 变量分离的方程340

9.2.2 齐次方程343

习题9.2（1）346

9.2.3 一阶线性方程347

习题9.2（2）351

9.3 求解高阶常微分方程的降阶法352

习题9.3356

附录1 通用数学符号358

附录2 希腊字母表358

附录3 George Polya的“怎样解题”表359

附录4 科学家人名对照360