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第一部分 复变函数3

第1章 复数和复变函数3

1.1基本概念3

1.2复数序列4

1.3复变函数5

1.4复变函数的极限和连续6

1.5无穷远点7

第2章 解析函数8

2.1可导与可微8

2.2解析函数10

2.3初等函数12

2.4多值函数12

2.5解析函数的物理解释——复势16

第3章 复变积分18

3.1复变积分18

3.2单连通区域的柯西定理20

3.3复连通区域的柯西定理22

3.4两个有用的引理23

3.5柯西积分公式24

3.6解析函数的高阶导数27

3.7柯西型积分和含参量积分的解析性28

第4章 无穷级数32

4.1复数级数32

4.2函数级数33

4.3幂级数34

4.4含参量的反常积分的解析性37

第5章 解析函数的局域性展开39

5.1解析函数的泰勒展开39

5.2泰勒级数求法举例40

5.3解析函数的零点孤立性和解析函数的唯一性47

5.4解析函数的洛朗展开48

5.5洛朗级数求法举例50

5.6单值函数的孤立奇点54

5.7解析延拓57

第6章 二阶线性常微分方程的幂级数解法59

6.1二阶线性常微分方程的常点和奇点59

6.2方程常点邻域内的解60

6.3方程正则奇点邻域内的解65

6.4贝塞尔方程的解70

第7章 留数定理及其应用75

7.1留数定理75

7.2有理三角函数的积分79

7.3无穷积分81

7.4含三角函数的无穷积分83

7.5实轴上有奇点的情形85

7.6多值函数的积分89

第8章T函数94

8.1 T函数的定义和基本性质94

8.2 ？函数98

8.3 B函数100

第9章 拉普拉斯变换102

9.1拉普拉斯变换102

9.2拉普拉斯变换的基本性质103

9.3拉普拉斯变换的反演108

9.4普遍反演公式116

第10章 δ函数119

第二部分 数学物理方程125

第11章 数学物理方程和定解条件125

11.1弦的横振动方程126

11.2杆的纵振动方程127

11.3热传导方程128

11.4稳定问题133

11.5边界条件与初始条件133

11.6内部界面上的连接条件135

11.7定解问题的适定性138

第12章 分离变量法139

12.1两端固定弦的自由振动139

12.2分离变量法的物理诠释144

12.3矩形区域内的稳定问题144

12.4多于两个自变量的定解问题147

12.5两端固定弦的受迫振动149

12.6非齐次边界条件的齐次化159

第13章 正交曲面坐标系166

13.1正交曲面坐标系166

13.2圆形区域168

13.3亥姆霍兹方程在柱坐标系下的分离变量170

13.4亥姆霍兹方程在球坐标系下的分离变量171

第14章 球函数173

14.1勒让德方程的解173

14.2勒让德多项式176

14.3勒让德多项式的微分表示（罗巨格公式）178

14.4勒让德多项式的正交完备性181

14.5勒让德多项式的生成函数182

14.6勒让德多项式的递推关系184

14.7勒让德多项式应用举例186

14.8连带勒让德函数191

14.9球面调和函数195

第15章 柱函数199

15.1贝塞尔函数和诺依曼函数200

15.2贝塞尔函数的递推关系200

15.3贝塞尔函数的渐进展开202

15.4整数阶贝塞尔函数的生成函数和积分表示203

15.5贝塞尔方程的本征值问题205

15.6半奇数阶贝塞尔函数211

15.7球贝塞尔函数213

第16章 积分变换的应用217

第17章 格林函数法220

17.1格林函数的概念220

17.2稳定问题格林函数的一般性质222

17.3三维无界空间亥姆霍兹方程的格林函数224

17.4圆内泊松方程第一边值问题的格林函数226

参考文献232