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第1章 函数、极限与连续1

1.1预备知识1

1.1.1实数的绝对值1

1.1.2集合2

1.1.3区间和邻域3

习题1.14

1.2函数5

1.2.1函数的概念5

1.2.2函数的几种特性8

1.2.3反函数与复合函数11

1.2.4基本初等函数与初等函数14

1.2.5建立函数关系式举例17

习题1.218

1.3数列的极限21

1.3.1数列的概念及其性质22

1.3.2数列的极限23

1.3.3数列的收敛性与有界性的关系26

习题1.327

1.4函数的极限28

1.4.1自变量趋向于无穷时函数的极限28

1.4.2自变量趋向于有限值时函数的极限30

1.4.3函数极限的性质定理33

习题1.433

1.5极限的运算法则34

1.5.1极限的四则运算法则34

1.5.2复合函数的极限38

1.5.3极限的不等式定理39

习题1.540

1.6极限存在的夹逼准则、两个重要极限41

1.6.1极限存在的夹逼准则41

1.6.2两个重要极限43

习题1.647

1.7无穷小、无穷大及无穷小的比较48

1.7.1无穷小48

1.7.2无穷大49

1.7.3无穷小的比较49

习题1.752

1.8函数的连续性与间断点53

1.8.1函数的连续性53

1.8.2左、右连续及连续的充要条件55

1.8.3函数的间断点及其分类56

习题1.859

1.9连续函数的运算及初等函数的连续性60

1.9.1连续函数的四则运算60

1.9.2反函数与复合函数的连续性60

1.9.3初等函数的连续性61

习题1.962

1.10闭区间上连续函数的性质63

1.10.1最大值和最小值定理63

1.10.2介值定理64

习题1.1065

复习题166

第2章 导数与微分69

2.1导数的概念69

2.1.1变化率问题举例69

2.1.2函数的导数70

2.1.3导数的几何意义75

2.1.4函数的可导性与连续性的关系76

习题2.176

2.2函数的四则运算求导法则77

2.2.1函数的和、差求导法则77

2.2.2函数的积、商求导法则79

习题2.281

2.3反函数的导数82

2.3.1反函数的求导法则82

2.3.2指数函数的导数83

2.3.3反三角函数的导数84

习题2.385

2.4复合函数的求导法则86

2.4.1复合函数的求导法则86

2.4.2基本求导公式与求导法则89

习题2.491

2.5高阶导数93

习题2.595

2.6隐函数的导数 由参数方程所确定的函数的导数96

2.6.1隐函数的导数96

2.6.2对数求导法98

2.6.3由参数方程所确定的函数的导数99

2.6.4相关变化率101

习题2.6102

2.7函数的微分104

2.7.1微分的定义104

2.7.2函数可微与可导之间的关系105

2.7.3微分的几何意义107

2.7.4函数的微分公式与微分法则108

2.7.5复合函数的微分法则与一阶微分形式不变性109

2.7.6微分在近似计算中的应用110

习题2.7112

复习题2113

第3章 中值定理与导数的应用116

3.1中值定理116

3.1.1罗尔定理116

3.1.2拉格朗日中值定理117

3.1.3柯西中值定理119

习题3.1120

3.2洛必达法则120

3.2.1 0/0和∞/∞型未定式的洛必达法则121

3.2.2其他未定式的计算124

习题3.2126

3.3函数单调性的判别法127

习题3.3130

3.4函数的极值及其求法130

习题3.4135

3.5最大值、最小值问题136

3.5.1函数在闭区间上的最大值和最小值136

3.5.2实际问题中的最大值和最小值137

习题3.5140

3.6曲线的凹凸性与拐点141

3.6.1曲线的凹凸性141

3.6.2曲线的拐点142

习题3.6144

3.7函数图形的描绘144

3.7.1曲线的水平渐近线与铅直渐近线144

3.7.2函数图形的描绘145

习题 3.7148

3.8曲率149

3.8.1弧微分149

3.8.2曲率的概念及计算公式150

3.8.3曲率半径与曲率圆155

习题3.8156

复习题3156

第4章 不定积分160

4.1原函数与不定积分160

4.1.1原函数与不定积分的概念160

4.1.2基本积分表164

4.1.3不定积分的性质166

习题4.1169

4.2换元积分法170

4.2.1第一类换元法170

4.2.2第二类换元法177

4.2.3基本积分表的扩充181

习题4.2183

4.3分部积分法185

习题4.3190

4.4简单有理真分式的积分及三角函数有理式的积分举例191

4.4.1有理真分式的积分191

4.4.2三角函数有理式的积分195

习题4.4198

复习题4199

第5章 定积分及其应用203

5.1定积分的概念203

5.1.1引入定积分概念的实例203

5.1.2定积分的定义206

5.1.3定积分的几何意义207

习题5.1210

5.2定积分的性质 中值定理211

习题5.2215

5.3牛顿-莱布尼茨公式216

5.3.1积分上限的函数及其导数216

5.3.2牛顿-莱布尼茨公式218

习题5.3222

5.4定积分的换元法与分部积分法223

5.4.1定积分的换元法223

5.4.2定积分的分部积分法228

习题5.4230

5.5定积分的近似计算法232

5.5.1矩形法232

5.5.2梯形法232

5.5.3抛物线法233

习题5.5235

5.6广义积分236

5.6.1无穷区间上的广义积分236

5.6.2无界函数的广义积分239

习题5.6241

5.7定积分在几何中的应用242

5.7.1元素法242

5.7.2平面图形的面积243

5.7.3某些特殊立体的体积247

5.7.4平面曲线的弧长251

习题5.7254

5.8定积分在物理、力学中的应用举例256

5.8.1计算作功256

5.8.2计算水压力259

习题5.8262

复习题5262

第6章 常微分方程267

6.1微分方程的基本概念267

6.1.1引例267

6.1.2微分方程的一般概念269

习题6.1271

6.2变量可分离的微分方程及齐次方程272

6.2.1变量可分离的微分方程272

6.2.2齐次方程274

习题6.2280

6.3一阶线性微分方程281

习题6.3288

6.4可降阶的高阶微分方程289

6.4.1 y（n）=f（x）型289

6.4.2 y"=f（x， y'）型290

6.4.3 y"=f（y，y'）型292

习题6.4296

6.5二阶常系数线性齐次微分方程296

6.5.1二阶常系数线性齐次微分方程解的性质与通解结构297

6.5.2二阶常系数线性齐次微分方程的解法299

习题6.5304

6.6二阶常系数线性非齐次微分方程304

6.6.1二阶常系数线性非齐次微分方程的通解结构及特解的可叠加性305

6.6.2二阶常系数线性非齐次微分方程的解法306

习题6.6314

复习题6315

附录319

附录A简单积分表319

附录B初等数学常用公式324

附录C极坐标简介327

附录D某些常用的曲线方程及其图形328