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第1章 无约束优化1

1.1 最优性条件2

1.1.1 主要的最优性条件9

1.2 梯度方法的收敛性16

1.2.1 下降方向和步长准则16

1.2.2 收敛结果33

1.3 梯度方法的收敛速率46

1.3.1 局部分析方法47

1.3.2 条件数的作用49

1.3.3 关于收敛速率的结论57

1.4 牛顿方法及其变形67

1.5 最小二乘问题78

1.5.1 高斯－牛顿方法82

1.5.2 增量梯度法83

1.5.3 高斯－牛顿法的增量形式92

1.6 共轭方向法100

1.7 拟牛顿法114

1.8 非求导方法122

1.8.1 坐标下降法123

1.8.2 直接搜索法124

1.9 离散时间最优控制问题127

1.10 一些实用的指导准则140

1.11 注释和参考资料144

第2章 凸集优化147

2.1 约束优化问题147

2.1.1 最优解的充要条件148

2.1.2 最优解的存在性156

2.2 可行方向法和条件梯度法163

2.2.1 下降方向和步长规则164

2.2.2 条件梯度法167

2.3 梯度投影法173

2.3.1 基于投影方法的可行方向和步长规则174

2.3.2 收敛性分析182

2.4 双矩阵投影方法190

2.5 流型子优化方法195

2.6 线性规划的仿射变换202

2.7 坐标块下降方法208

2.8 注释和参考资料213

第3章 拉格朗日乘子理论215

3.1 等式约束优化问题的必要条件216

3.1.1 惩罚法219

3.1.2 消元法221

3.1.3 拉格朗日函数224

3.2 等式约束优化问题的充分条件和灵敏度分析230

3.2.1 增广的拉格朗日方法231

3.2.2 可行方向法234

3.2.3 灵敏度235

3.3 不等式约束优化问题239

3.3.1 Karush-Kuhn-Tucker最优性条件241

3.3.2 转化为等式约束处理243

3.3.3 二阶充分条件和灵敏度245

3.3.4 充分性条件及拉格朗日最小化246

3.3.5 Fritz John最优性条件247

3.3.6 深化和精练259

3.4 线性约束和对偶性279

3.4.1 凸目标函数和线性约束279

3.4.2 对偶理论：针对简单等式约束的优化问题281

3.5 注释和参考资料287

第4章 拉格朗日乘子算法289

4.1 障碍函数法和内点法289

4.1.1 线性规划与对数障碍方法292

4.2 惩罚法和增广的拉格朗日方法303

4.2.1 二次罚函数方法305

4.2.2 乘子方法——主要思想311

4.2.3 乘子方法的收敛性分析318

4.2.4 对偶性和二阶乘子方法321

4.2.5 指数乘子方法323

4.3 精确惩罚——序贯二次规划329

4.3.1 不可微精确罚函数330

4.3.2 可微精确罚函数343

4.4 拉格朗日方法和原始－对偶内点法348

4.4.1 一阶方法348

4.4.2 等式约束问题的类牛顿方法352

4.4.3 全局收敛性359

4.4.4 原始－对偶内点法362

4.4.5 不同方法的比较369

4.5 注释和参考资料370

第5章 对偶性与凸规划373

5.1 对偶问题374

5.1.1 几何乘子375

5.1.2 弱对偶定理378

5.1.3 原问题和对偶问题最优解的性质383

5.1.4 原问题不可行或最优值无界的情形384

5.1.5 对等式约束的处理384

5.1.6 可分问题及其几何结构386

5.1.7 有关对偶性的其他问题389

5.2 凸目标函数——线性约束问题394

5.3 凸目标函数——凸约束问题399

5.4 共轭函数及Fenchel对偶406

5.4.1 单值规划的对偶性410

5.4.2 网络优化413

5.4.3 博弈和最小化最大值定理415

5.4.4 原函数417

5.4.5 从对偶的角度看罚函数方法419

5.4.6 最近邻和熵最小化算法424

5.5 离散优化及其对偶437

5.5.1 离散优化问题的举例438

5.5.2 分枝定界443

5.5.3 拉格朗日松弛450

5.6 注释和参考资料459

第6章 对偶方法461

6.1 对偶微分及次梯度462

6.2 可微对偶问题的对偶上升方法467

6.2.1 二次规划的坐标上升法467

6.2.2 严格凸的可分问题469

6.2.3 划分和对偶严格凹性470

6.3 不可微优化方法474

6.3.1 次梯度方法474

6.3.2 近似次梯度法和增量次梯度法478

6.3.3 割平面方法481

6.3.4 上升法和近似上升法486

6.4 分解方法497

6.4.1 耦合约束的拉格朗日松弛497

6.4.2 基于约束右侧常数分解的方法500

6.5 注释和参考资料502

附录A 数学背景505

A.1 向量和矩阵506

A.2 范数、数列、极限和连续性508

A.3 方阵和特征值514

A.4 对称和正定矩阵516

A.5 导数520

A.6 压缩映射524

附录B 凸分析527

B.1 凸集和凸函数527

B.2 分离超平面543

B.3 锥和多面体的凸性546

B.4 极点553

B.5 可微性问题557

附录C 线性搜索方法569

C.1 三次插值法569

C.2 二次插值法570

C.3 黄金分割法571

附录D 牛顿法的运用575

D.1 Cholesky分解575

D.2 改进牛顿法的应用577

参考文献580