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1 函数1

1.1 实数集区间1

1.1.1 集合1

1.1.2 实数集4

1.1.3 区间 邻域6

习题1.17

1.2 函数的概念8

1.2.1 常量与变量8

1.2.2 函数的定义9

1.2.3 函数的表示分段函数10

1.2.4 函数的几种特性12

习题1.215

1.3 初等函数18

1.3.1 反函数18

1.3.2 基本初等函数20

1.3.3 复合函数22

1.3.4 初等函数24

1.3.5 双曲函数与反双曲函数25

1.3.6 非初等函数举例26

习题1.328

1.4 建立函数关系举例29

习题1.432

1.5 数学模型与数学实验举例33

1.5.1 函数拟合33

1.5.2 小课题研讨(一)：迭代与动力系统35

习题1.538

1.6 函数概念的形成与发展39

第1章总习题40

2 导数与极限42

2.1 导数的概念42

2.1.1 引例42

2.1.2 导数概念44

习题2.148

2.2 函数的极限49

2.2.1 函数极限的定义50

2.2.2 极限的性质59

2.2.3 无穷小与无穷大61

2.2.4 极限的运算法则64

2.2.5 无穷小的比较72

习题2.278

2.3 函数的连续性81

2.3.1 函数连续的概念81

2.3.2 连续函数的运算性质83

2.3.3 初等函数的连续性85

2.3.4 函数的间断点及其分类87

2.3.5 闭区间上连续函数的性质89

习题2.392

2.4.1 函数可导与连续的关系94

2.4 导数的计算94

2.4.2 函数的和、差、积、商的求导法则97

2.4.3 反函数求导法则99

2.4.4 复合函数求导法则101

2.4.5 基本求导公式103

2.4.6 隐函数的导数及对数求导法104

2.4.7 由参数方程确定的函数的导数107

2.4.8 极坐标系下曲线的切线问题109

习题2.4110

2.5 高阶导数113

习题2.5118

2.6 数学模型与数学实验举例119

2.6.1 与极限和导数相关的例子119

2.6.2 小课题研讨(二)：机器人设计121

习题2.6124

第2章总习题125

3 微分学的基本定理127

3.1 微分127

3.1.1 线性近似127

3.1.2 微分130

3.1.3 基本初等函数的微分公式与微分运算法则132

习题3.1134

3.2 微分中值定理136

3.2.1 罗尔中值定理136

3.2.2 拉格朗日中值定理138

3.2.3 柯西中值定理140

3.2.4 中值定理的初步应用141

习题3.2144

3.3 洛必达法则146

3.3.1 ？型148

3.3.2 ？型150

3.3.3 几点注意151

3.3.4 0·∞型与∞-∞型153

3.3.5 1∞型、∞0型及00型154

习题3.3155

3.4 泰勒公式157

3.4.1 泰勒公式157

3.4.2 几个常用函数的泰勒公式161

3.4.3 泰勒公式的应用165

习题3.4168

3.5 数学模型与数学实验举例170

习题3.5171

第3章总习题171

4 导数的应用174

4.1 函数的单调性、极值与最值174

4.1.1 函数的单调性174

4.1.2 函数的极值176

4.1.3 最大值与最小值180

4.1.4 方程根的个数185

习题4.1186

4.2 函数的凸性与拐点191

4.2.1 凸(凹)函数的概念191

4.2.2 函数凸性的充分条件和必要条件192

4.2.3 凸函数的性质及其几何意义194

4.2.4 拐点196

习题4.2197

4.3 平面曲线的曲率199

4.3.1 曲率的概念199

4.3.2 曲率的计算公式201

4.3.3 曲率半径、曲率中心和曲率圆204

习题4.3206

4.4 渐近线208

4.4.1 引言208

4.4.3 曲线斜渐近线的求法209

4.4.2 曲线渐近线的定义209

4.4.4 函数在无穷远处的线性近似211

4.4.5 函数图形的描绘212

习题4.4214

4.5 相关变化率215

习题4.5218

4.6 近似计算220

4.6.1 函数值的近似计算220

4.6.2 方程的近似解222

习题4.6227

4.7 导数在经济学中的应用228

4.7.1 需求分析228

4.7.2 边际分析232

4.7.3 弹性分析234

4.7.4 经济学中的最大值最小值问题238

习题4.7242

4.8 数学模型与数学实验举例244

4.8.1 与微分学应用相关的例244

4.8.2 小课题研讨(三)：活人炮弹247

习题4.8249

第4章总习题249

5 积分253

5.1 定积分概念253

5.1.1 定积分问题的产生253

5.1.2 定积分的定义 几何意义256

5.1.3 定积分存在的条件259

习题5.1260

5.2 定积分的性质261

习题5.2267

5.3 微积分基本定理269

5.3.1 两个问题的提出269

5.3.2 微积分第一基本定理270

5.3.3 原函数和不定积分275

5.3.4 微积分第二基本定理280

习题5.3282

第5章总习题285

6 积分法287

6.1 不定积分的基本积分法287

6.1.1 不定积分的性质287

6.1.2 不定积分的换元法290

6.1.3 不定积分的分部积分法304

6.1.4 几种特殊类型函数的积分312

习题6.1318

6.2 定积分的基本积分法322

6.2.1 定积分的换元法322

6.2.2 定积分的分部积分法331

习题6.2335

6.3 定积分的数值积分法338

6.3.1 矩形求积方法339

6.3.2 梯形求积公式340

6.3.3 抛物线求积公式344

习题6.3348

6.4 数学模型与数学实验349

习题6.4352

第6章总习题353

7 定积分的应用与广义积分355

7.1 定积分的微元法355

7.2 几何应用357

7.2.1 平面图形的面积357

7.2.2 平面曲线的弧长364

7.2.3 立体体积367

7.2.4 旋转体的侧面积375

习题7.2377

7.3.1 变力沿直线所作的功379

7.3 物理应用379

7.3.2 液体对侧面的压力384

7.3.3 引力386

习题7.3388

7.4 其他应用389

7.4.1 函数的平均值389

7.4.2 均方根390

7.4.3 在经济中的应用391

习题7.4396

7.5 广义积分397

7.5.1 广义积分问题的产生397

7.5.2 无穷区间上的广义积分398

7.5.3 无界函数的广义积分403

7.5.4 Γ(Gamma)函数407

习题7.5409

7.6.1 与积分应用有关的例411

7.6 数学模型和数学实验举例411

7.6.2 小课题研讨(四)：铁路路基施工方案415

习题7.6417

第7章总习题417

8 数列与无穷级数420

8.1 数列极限420

8.1.1 数列420

8.1.2 收敛数列424

8.1.3 有界数列和单调数列427

习题8.1433

8.2 数项级数436

8.2.1 无穷级数的基本概念436

8.2.2 收敛级数的基本性质439

8.2.3 正项级数的性质及其敛散性判别法442

8.2.4 任意项级数的绝对收敛和条件收敛453

8.2.5 交错级数458

习题8.2463

8.3 幂级数466

8.3.1 函数项级数的一般概念466

8.3.2 幂级数及其收敛域467

8.3.3 幂级数的性质473

8.3.4 幂级数的求和476

习题8.3478

8.4 函数的幂级数展开及其应用480

8.4.1 泰勒级数480

8.4.2 几个初等函数的麦克劳林级数展开式483

8.4.3 函数展开为幂级数举例间接展开法486

8.4.4 函数幂级数展开式的应用488

习题8.4495

8.5 数学模型和数学实验举例496

第8章总习题497

习题8.5497

附录Ⅰ Mathematica 使用入门501

Ⅰ.1 引言501

Ⅰ.1.1 进入 Mathematica501

Ⅰ.1.2 启动Mathematica内核501

Ⅰ.1.3 退出Mathematica501

Ⅰ.2 数和算术502

Ⅰ.2.1 整数和有理数计算502

Ⅰ.2.2 浮点数(实数)和复数计算503

Ⅰ.2.3 数学常数的输入504

Ⅰ.2.4 常用数学函数504

Ⅰ.3 变量与代数式505

Ⅰ.3.1 变量命名505

Ⅰ.3.2 变量赋值与替换505

Ⅰ.3.3 清除变量506

Ⅰ.4.1 化简计算结果507

Ⅰ.4 基本代数运算507

Ⅰ.4.2 常用的因式分解函数508

Ⅰ.4.3 多项式的运算510

Ⅰ.4.4 解方程510

Ⅰ.4.5 求函数的极值511

Ⅰ.5 微积分511

Ⅰ.5.1 求极限511

Ⅰ.5.2 求导数512

Ⅰ.5.3 求不定积分513

Ⅰ.5.4 求定积分514

Ⅰ.5.5 无穷级数与无穷乘积514

Ⅰ.5.6 常微分方程(组)516

Ⅰ.6 函数作图517

Ⅰ.6.1 二维图形517

Ⅰ.6.2 三维图形519

Ⅰ.6.3 标准三维几何体的绘制520