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第3章 第一类纯递归式递归算术F1（系统A0V2

第5章 第一类复迭式递归算术F3（系统B1M1？I2O2

第4章 第一类纯递归式递归算术F2（系统A0V1I2

第6章 第一类纯复迭式递归算术F4

1.1 自然数，数变元，数论函数6

1.2 函数的定义6

第1章 有关概念的非形式描述6

1.3 递归算术作为方程演算的语法刻划8

1.4 证明的推理根据的书写方式9

1.5 公理与规则的分类9

1.6 规则的强弱解释11

第7章 第二类原始递归算术F11与F12

第2章 基础系统13

2.1 基础系统的描述13

2.2 基础系统中的推理14

2.3 基础系统的化归21

3.1 递归算术F1的构成28

3.2 关于二元常函数N的性质29

3.3 关于和的性质33

3.4 关于一元函数D的性质36

3.5 关于算术减的性质37

3.6 配对函数组的基本性质41

3.7 An与Un的建立43

3.8 三元原始递归算术45

3.9 推理定理47

4.1 递归算术F2的构成与展开51

4.2 归纳规则的推导57

4.3 配对函数组的基本性质64

5.1 递归算术F3的构成67

5.2 关于和的性质68

5.3 关于二元函数xNa(y)的性质70

5.4 关于一元函数rs(x,c)和Hb(x)的性质75

5.5 关于二元函数v和d的性质82

5.6 关于算术减的性质85

5.7 关于rs(x,c)和Hb(x)的进一步性质90

5.8 关于一元函数p(x)、G(x)与x2的性质93

5.9 配对函数的性质99

6.1 递归算术F4的构成102

6.2 一些基本函数的性质103

6.3 关于二元函数v以及各种差函数的性质108

6.4 关于函数p(x)、G(x)和x2的性质112

6.5 关于配对函数组119

6.6 推理定理121

7.1 初等系统D1与D2123

7.2 系统F11与F12的构成123

7.3 系统F11G与F12的合用性124

8.1 第一型半完备N系统131

第8章 完备或半完备的初等系统131

8.2 第一型半完备A系统137

8.3 第一型半完备M系统138

8.4 第一型半完备AM系统139

8.5 第一型半完备NM系统140

8.6 第一型半完备NA系统142

8.7 第一型半完备NAM系统145

8.8 第一型完备NE系统147

8.9 半完备初等系统的完备性153

9.1 初等系统S1155

第9章 辅助初等系统155

9.2 初等系统S2158

9.3 初等系统S3160

9.4 初等系统S4161

9.5 初等系统S5164

9.6 初等系统S6166

9.7 第二型初等系统S7169

9.8 关于第二型初等公理或初等规则的等价关系172

10.1 存在公理之间的关系176

第10章 各存在公理与各高等规则之间的关系176

10.2 唯一性规则之间的关系181

10.3 归纳规则与存在公理之间的关系184

10.4 第二类原始递归算术F13188

10.5 第四类原始递归算术F14189

第11章 几个常用的函数190

11.1 乘法x·y190

11.2 幂指函数xy193

11.3 除法［x/y］196

11.4 剩余函数rs（x,y）199

11.5 阶乘x！204

11.6 函数x？y205

11.7 函数ma（x,y）207

11.8 函数mi（x,y）208

11.9 不减和递增函数210

第12章 初等算术算子213

12.1 算子Ni？？（i）213

12.2 求和算子∑i？？（i）214

12.3 求积算子Ⅱi？？（i）219

12.4 零点个数算子Фi？？（i）226

12.5 最小零点算子μi？？（i）229

12.6 最大零点算子？i？？（i）234

第13章 一般迭函（迭A）算子236

13.0 一般的A236

13.1 可结合与可交换的A237

13.2 具有非零性的A238

13.3 初值为零的A242

13.4 轴上为零的A243

13.5 具配对性质的A244

14.0 一些辅助等式247

第14章 原始递归式的加强247

14.1 串值递归式定义函数的存在性与唯一性248

14.2 参数变异递归式定义函数的存在性与唯一性250

14.3 联立递归式定义函数的存在性与唯一性256

14.4 二重递归式定义函数的存在性与唯一性257

14.5 含初等算子的递归式270

14.6 单重嵌套（弱嵌套）递归式272

第15章 命题演算与受限谓词演算275

15.1 命题的特征数与命题函数的特征函数275

15.2 命题演算276

15.3 不等与相等关系279

15.4 受限谓词演算280

第16章 非原始递归函数286

16.1 原始递归函数的生成286

16.2 Ackermann函数288

16.3 原始递归函数集的枚举函数291

第17章 数论函数的逆函数295

17.1 一元函数的逆函数295

17.2 递增函数的左逆函数297

17.3 递增函数的弱、强左逆函数298

17.4 递增函数的弱、强左剩余函数311

17.5 穷尽缓增函数的弱、强右逆函数315

17.6 逆函数的原函数316

17.7 二元函数的逆函数318

17.8 示例323

第18章 配对函数组327

18.1 显式定义二元函数的左逆函数对327

18.2 原始复迭式定义的二元函数的逆函数对334

18.3 具平梯性的配对函数组338

18.4 一一对应的配对函数组342

18.5 应用348

18.6 例题350

第19章 高等规则354

19.1 概述354

19.2 P归纳规则356

19.3 P递推规则359

19.4 Q唯一性规则361

19.5 交错规则365

19.6 广义归纳规则与广义P归纳规则366

19.7 广义唯一性规则与广义交错规则370

19.8 各种广义串值高等规则372

19.9 穷举规则373

第20章 不用高等规则的原始递归算术377

20.1 高等规则的相应初等公式377

20.2 不使用高等规则的原始递归算术380

第21章 算术基本定理与孙子定理382

21.1 因子与质数382

21.2 质因子分解，算术基本定理393

21.3 最大公约数与最小公倍数400

21.4 孙子定理，G？del的β函数409

第22章 原始递归算术的系统特征与不完备性定理413

22.1 可靠性和相容性413

22.2 原始递归算术语法概念的算术化——G？del编码414

22.3 原始递归算术的不完备性419

22.4 原始递归算术的非标准模型422

参考文献428

符号索引430