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总序 徐崇文1

前言1

一、趣味篇2

1.1　科学家做过的名题2

1．爱因斯坦问题2

2．狄拉克问题3

3．华罗庚问题4

4．高斯问题5

1．考倒少年大学生的趣题6

1.2　广为流传的两道趣题6

2．一道轰动美国的数学题8

1.3　数学黑洞9

1．有趣的“3x+1”游戏10

2．由自生成数形成的黑洞12

1.4　北极狐狸为什么是圆脸？14

1．伯格曼的发现14

2．动物也“懂”数学15

1.5　迷人的π17

1．圆周率定义剪影17

2．用π表示圆周率的由来18

3．π的计算20

4．π的性质34

5．π与弧度制37

6．π的趣闻轶事39

1.6　神秘的e44

1．速算大师的秘密44

2．为何取e作对数的底？46

3．e的定义50

4．数学殿堂中的e53

5．e的广泛应用63

6．揭示e的“质”与“量”75

2．如何比较无限集的大小？79

1.7　奇妙的∞79

1．“乱世”出英雄79

3．“奇怪”的结论80

4．希尔伯特旅店82

5．所有的无穷是否一样多？82

1.8　数学上的三次危机83

1．第一次数学危机84

2．第二次数学危机85

3．第三次数学危机86

1.9　邮票上的数学87

1．计算技术的进步88

2．重大数学成果90

3．中国的数学和数学家93

4．其他97

1.10　数学与艺术100

1．数学与建筑100

2．数学与美术106

3．数学与音乐112

1.11　神奇的幻方114

1．洛水神龟献幻方114

2．幻方世界117

3．变形幻方119

4．幻方的性质122

1.12　最优美的数学公式123

1.13　学会欣赏数学126

1．数学是美丽的126

2．数学美的体现127

二、方法篇134

2.1　数学离不开猜想134

1．猜想是数学家的金拐杖134

2．费尔马大定理135

3．辩证地认识数学的“严格”136

1．分析法137

2.2　分析与综合137

2．综合法138

2.3　试验、归纳是猜想的源泉140

1．从哥德巴赫猜想说起140

2．完全归纳法141

3．不完全归纳法142

2.4　类比给你智慧145

1．类比法145

2．类比的类型145

3．类比猜想147

4．类比的误区150

2.5　出奇制胜的反例151

1．反例反驳151

2．出奇制胜的反例151

2.6　数学应用的利器——MM方法155

1．数学模型方法155

2．数学模型的建立158

3．数学模型在解题中的作用160

4．数学模型方法的现代应用164

2.7　穷则思变——化归方法166

1．什么是化归方法166

2．化归方法的基本原则167

3．实现化归的几种常用方法169

4．化归方法的局限性173

2.8　不进则退——特殊化方法174

1．什么是特殊化？174

2．用特殊化解决问题的过程175

3．特殊化方法的应用175

4．辩证地看待特殊化182

2.9　正难则反——反证法182

1．什么是反证法？182

2．使用反证法应注意的问题184

3．何时使用反证法186

4．反证法与直接证法相辅相成188

2.10　化整为零各个击破——分类方法189

1．分类及其标准189

2．分类的原则191

3．分类讨论的解题策略192

2.11　数形结合百般好196

1．数形结合方法196

2．数形结合方法的应用198

3．“数形结合”的局限性203

1．克服思维定势的妙法206

2.12　换个角度看问题206

2．诱导数学创新的法宝208

2.13　奇妙的构造法210

1．直接构造法210

2．构造辅助性数学模型211

3．不可迷信构造法218

2.14　让潜意识驰骋221

三、应用篇226

3.1　方程226

1．如何制定牙膏的合理价格？226

2．开放几个检票口最佳228

3．养老金的投放230

4．公交汽车调度231

5．是以批发价购买还是以零售价购买？235

3.2　函数236

1．公民缴纳个人所得税的计算236

2．仓库的合理利用240

3．蔬菜运输方式的选择242

4．运油率的计算245

5．鱼的售价调控248

6．汽车运输成本的控制252

7．自来水供应的调节253

8．如何“打的”最省钱？254

9．广告投放策略257

10．十字路口的最佳车速258

11．电力供需矛盾262

3.3　三角264

1．客运票价的合理制定264

2．潮汐水位的预测266

3．如何切割损耗最小？269

3.4　几何272

1．从上海飞往洛杉矶为何途经阿拉斯加？272

2．测飞机的高度和时速275

3．哪一种蜂窝煤灶火力更旺？277

4．学生距黑板多远时视角最大？279

3.5　数列281

1．城市汽车数量的控制281

2．砌砖中的数学283

3．学会数学阅读287

3.6　轨迹292

1．追击走私船292

2．藏宝地在哪儿？295

3．确定爆炸点的距离296

4．如何确定运送化肥的路径299

5．蔬菜的生产与销售策略301

3.7　线性规划、统筹与概率303

1．生产哪种蛋糕利润最大？303

2．合理施肥305

3．树形图的魅力310

4．求最短工期314

5．如何确定通道的条数？317

四、研究篇322

4.1　数学思想方法类322

个案1　浅议数学模型方法322

个案2　特殊化方法初探326

4.2　解题经验总结类329

个案3　高中数学解题的基本方法330

个案4 运用“数学美”诱发解题思路初步探讨336

4.3　数学应用类344

个案5　用数学优化生活的尝试345

个案6　数学在现实生活中的应用350

4.4　知识拓展类354

个案7　奇妙的“分形”355

个案8　数学与逻辑的关系360

主要参考文献363