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第1篇 线性代数（矩阵分析）3

第1章 矩阵和向量3

1.1 矩阵和向量的定义3

1.2 矩阵的基本运算5

1.2.1 矩阵的加法和数乘5

1.2.2 矩阵乘法6

1.2.3 矩阵转置8

1.3 初等变换和初等矩阵9

1.3.1 高斯消元法9

1.3.2 初等矩阵11

1.3.3 矩阵求逆14

1.4 方阵的行列式15

1.4.1 二阶和三阶行列式15

1.4.2 行列式的定义16

1.4.3 行列式的计算17

1.4.4 克拉默法则21

1.5 矩阵分块运算22

附录1 Mathematica中矩阵的定义和运算24

习题26

第2章 线性空间28

2.1 向量的相关性28

2.1.1 线性组合和线性表示28

2.1.2 线性相关与线性无关29

2.2 秩32

2.2.1 向量组的秩32

2.2.2 矩阵的秩33

2.2.3 相抵标准形35

2.3 线性空间35

2.3.1 线性空间的定义35

2.3.2 线性子空间36

2.4 维、基、坐标37

2.4.1 维、基、坐标的定义37

2.4.2 基变换与坐标变换37

2.5 线性方程组的解40

附录2用Mathematica求解线性方程组44

习题45

第3章 线性变换47

3.1 线性变换及其运算47

3.1.1 线性变换的定义和性质47

3.1.2 线性变换的运算49

3.2 线性变换的矩阵50

3.2.1 线性变换的矩阵50

3.2.2 线性变换与矩阵的关系55

3.3 矩阵的相似56

3.4 特征值与特征向量57

3.4.1 特征值与特征向量的定义57

3.4.2 特征值与特征向量的计算58

3.4.3 特征多项式的性质60

3.5 矩阵的相似对角化61

3.5.1 矩阵可对角化的条件61

3.5.2 若尔当标准形简介64

附录3用Mathematica计算矩阵的特征值和特征向量65

习题66

第4章 欧氏空间和二次型68

4.1 内积和欧氏空间68

4.1.1 内积的定义68

4.1.2 欧氏空间的性质70

4.1.3 正交投影71

4.1.4 施密特正交化72

4.2 正交变换和对称变换75

4.2.1 正交变换75

4.2.2 正交矩阵76

4.2.3 对称变换76

4.2.4 对称矩阵77

4.3 二次型的矩阵表示79

4.4 二次型的标准形81

4.4.1 正交相合方法81

4.4.2 配方法82

4.4.3 初等变换法83

4.5 相合不变量85

4.6 正定二次型88

附录4用Mathematica做正交投影和标准正交化91

习题91

第5章 矩阵和向量范数93

5.1 向量范数93

5.1.1 向量范数的定义93

5.1.2 不同向量范数的关系94

5.1.3 向量的极限95

5.2 矩阵范数95

5.2.1 矩阵范数的定义95

5.2.2 常用矩阵范数96

5.2.3 谱半径与收敛矩阵98

5.3 矩阵的条件数99

附录5用Mathematica计算矩阵和向量范数101

第2篇 数值计算105

绪言105

第6章 线性方程组数值解108

6.1 高斯列主元消元108

6.1.1 高斯消元法108

6.1.2 列主元消元法111

6.2 直接分解法114

6.2.1 LU分解115

6.2.2 对称正定矩阵的LDLT分解120

6.3 解线性方程组的迭代法122

6.3.1 雅可比迭代123

6.3.2 Gauss-Seidel迭代126

6.3.3 松弛迭代129

附录6用Mathematica求解方程组和矩阵分解131

习题132

第7章 插值与拟合134

7.1 拉格朗日插值多项式134

7.1.1 拉格朗日插值多项式的存在性和唯一性136

7.1.2 拉格朗日插值和插值基函数137

7.1.3 n次插值多项式的误差138

7.2 牛顿插值多项式140

7.2.1 差商及其计算140

7.2.2 牛顿插值的形式142

7.3 厄米插值144

7.4 三次样条函数148

7.4.1 龙格现象148

7.4.2 三次样条函数简介149

7.5 拟合曲线151

7.5.1 线性拟合和二次拟合函数152

7.5.2 解矛盾方程组154

附录7 Mathematica的插值和拟合函数159

习题160

第8章 数值积分和数值微分162

8.1 数值微分162

8.1.1 差商与数值微分162

8.1.2 插值型数值微分164

8.2 牛顿-科茨积分165

8.2.1 插值型数值积分166

8.2.2 牛顿-科茨积分167

8.3 复化数值积分171

8.3.1 复化梯形积分171

8.3.2 复化辛普森积分173

8.3.3 复化积分的自动控制误差方法174

8.3.4 龙贝格积分176

8.4 重积分计算简介178

8.5 高斯型积分简介180

8.5.1 高斯积分180

8.5.2 高斯-勒让德积分181

附录8 Mathematica的数值积分184

习题185

第9章 常微分方程数值解186

9.1 欧拉公式187

9.1.1 基于数值微商的欧拉公式187

9.1.2 欧拉公式的收敛性190

9.2 龙格-库塔方法191

9.2.1 二阶龙格-库塔方法191

9.2.2 四阶龙格-库塔格式194

9.2.3 常微分方程组195

9.3 线性多步法197

9.4 常微分方程的稳定性199

附录9用Mathematica求解常微分方程202

习题203

第10章 迭代法205

10.1 非线性方程求根205

10.1.1 二分法205

10.1.2 迭代法206

10.2 牛顿迭代法和弦截法209

10.2.1 牛顿迭代格式209

10.2.2 牛顿法的几何意义210

10.2.3 弦截法迭代格式211

10.2.4 弦截法的几何意义212

10.3 求解非线性方程组的牛顿方法213

10.4 计算矩阵特征值的幂法和反幂法215

10.4.1 幂法215

10.4.2 幂法的规范运算218

10.4.3 反幂法221

10.5 QR方法简介222

10.5.1 Householder矩阵222

10.5.2 QR分解222

附录10 Mathematica的非线性方程求根和特征值计算223

习题224

第3篇 概率论与数理统计227

第11章 统计数据的表示与处理227

11.1 平均指标与变动度指标227

11.1.1 平均指标及其计算228

11.1.2 数据变动（变异）度指标230

11.2 统计指数的计算与认识232

11.3 数据的分组与分组数据的图示法235

11.4 数据的线性普涨和普降方法239

11.5 定量数据转化为定性数据的方法240

习题241

第12章 随机变量概率分布及其应用243

12.1 两点分布、二项分布及其应用243

12.1.1 两点分布243

12.1.2 二项分布244

12.1.3 应用举例245

12.2 泊松分布及其应用247

12.3 正态分布及其应用249

12.3.1 正态分布的概率密度函数f（χ）与分布函数F（χ）250

12.3.2 标准正态分布的概率计算与分位点251

12.3.3 正态分布的标准化及应用举例252

12.4 指数分布254

习题256

第13章 抽样分布与中心极限定理258

13.1 总体与随机样本258

13.2 数理统计中的四大分布258

13.2.1 χ2（卡方）分布259

13.2.2 t分布260

13.2.3 F分布262

13.3 抽样分布中的常用公式263

13.4 大数定律与中心极限定理268

13.4.1 大数定律268

13.4.2 中心极限定理的表现形式271

13.5 中心极限定理的应用274

习题277

第14章 参数估计279

14.1 参数的点估计与应用279

14.2 估计量的评价标准284

14.3 参数的区间估计与应用287

14.4 单侧置信区间估计295

习题297

第15章 假设检验及其应用299

15.1 假设检验的基本原理与步骤299

15.2 正态总体均值的假设检验300

15.2.1 单个正态总体均值的假设检验300

15.2.2 两个正态总体均值差的假设检验304

15.3 单边（侧）假设检验问题306

15.4 正态总体方差的假设检验308

15.4.1 单个正态总体方差的χ2检验308

15.4.2 双正态总体方差齐性的F检验309

15.5 假设检验中值得注意的几个问题311

15.5.1 单边假设检验中原假设与备择假设的确定原则问题311

15.5.2 两类错误问题312

习题314

第16章 回归分析及其应用316

16.1 回归分析的基本概念与思想316

16.2 一元线性回归及其应用316

16.3 可线性化的一元非线性回归323

16.4 多元线性回归及其应用327

附录11 Mathematica中概论统计命令331

习题337

参考文献339