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第一章 一元函数极限1

1.1　函数1

一、关于反函数1

二、奇函数、偶函数2

三、周期函数4

四、几个常用的不等式5

五、求递推数列的通项9

1.2　用定义证明极限的存在性14

一、用定义证明极限14

二、用Cauchy准则证明极限21

三、否定形式22

四、利用单调有界原理证明极限存在25

五、数列与子列，函数与数列的极限关系26

六、极限的运算性质28

1.3 求极限值的若干方法32

一、利用等价代换和初等变形求极限33

a．等价代换33

b．利用初等变形求极限34

二、利用已知极限36

三、利用变量替换求极限39

四、两边夹法则40

五、两边夹法则的推广形式43

六、求极限其他常用方法44

a．L'Hospital（常被译为洛必达）法则44

b．利用Taylor公式求极限45

c．利用积分定义求极限46

d．利用级数求解极限问题48

e．利用连续性求极限50

f．综合性例题50

1.4　O.Stolz公式57

一、数列的情况57

二、函数极限的情况63

1.5　递推形式的极限69

一、利用存在性求极限69

二、写出通项求极限79

三、替换与变形84

四、图解法86

五、不动点方法的推广89

六、Stolz公式的应用91

1.6　序列的上、下极限97

一、利用ε-N语言描述上、下极限97

二、利用子序列的极限描述上、下极限101

三、利用确界的极限描述上、下极限103

四、利用上、下极限研究序列的极限104

五、上、下极限的运算性质106

1.7　函数的上、下极限109

一、函数上、下极限的定义及等价描述110

二、单侧上、下极限115

三、函数上、下极限的不等式115

1.8 实数及其基本定理116

一、实数的引入117

二、实数基本定理120

第二章　一元函数的连续性127

2.1　连续性的证明与应用127

一、连续性的证明127

二、连续性的应用135

2.2　一致连续性146

一、利用一致连续的定义及其否定形式证题147

二、一致连续与连续的关系150

三、用连续模数描述一致连续性155

四、集上的连续函数及一致连续函数的延拓问题157

2.3　上、下半连续164

一、上、下半连续的定义与等价描述165

二、上（下）半连续的性质167

a．运算性质167

b．保号性168

c．无介值性168

d．关于f（x）的界168

2.4　函数方程174

一、问题的提出174

二、求解函数方程175

a．推归法175

b．转化法178

c．利用微分方程181

第三章　一元微分学184

3.1 导数184

一、关于导数的定义与可微性184

二、高阶导数与Leibniz公式190

a．先拆项再求导190

b．直接使用Leibniz公式191

c．用数学归纳法求高阶导数193

d．用递推公式求导195

e．用Taylor展式求导数196

3.2　微分中值定理206

一、Rolle定理206

a．函数零（值）点问题206

b．证明中值公式209

二、Lagrange定理211

a．利用几何意义（弦线法）211

b．利用有限增量公式导出新的中值公式217

c．作为函数的变形219

d．用导数法证明恒等式221

三、导数的两大特性222

a．导数无第一类间断222

b．导数的介值性224

四、Cauchy中值定理225

a．推导中值公式225

b．作为函数与导数的关系228

3.3　Taylor公式240

一、证明中值公式241

二、用Taylor公式证明不等式243

三、用Taylor公式作导数的中值估计244

四、关于界的估计246

五、求无穷远处的极限249

六、中值点的极限251

七、函数方程中的应用252

八、Taylor展开的唯一性问题254

3.4　不等式与凸函数261

一、不等式261

a．利用单调性证明不等式261

b．利用微分中值定理证明不等式261

c．利用Taylor公式证明不等式263

d．用求极值的方法证明不等式264

e．利用单调极限证明不等式265

二、凸函数267

a．凸函数的几种定义以及它们的关系268

b．凸函数的等价描述272

c．凸函数的性质及应用278

3.5　导数的综合应用288

一、极值问题288

二、导数在几何中的应用294

三、导数的实际应用296

四、导数在求极限中的应用298

第四章　一元函数积分学304

4.1　积分与极限304

一、利用积分求极限304

二、积分的极限306

4.2　定积分的可积性321

一、直接用定义证明可积性323

二、利用定理证明可积性324

a．利用定理2证明可积性324

b．利用定理1与定理1′（例4.2.3）证明可积性325

c．利用定理3（例4.2.8）证明可积性330

4.3 积分值估计 积分不等式及综合性问题334

一、积分值估计334

a．利用Darboux和估计积分值334

b．利用变形求估计及积分估计的应用336

二、积分不等式345

a．用微分学的方法证明积分不等式345

b．利用被积函数的不等式证明积分不等式346

c．在不等式两端取变限积分证明新的不等式349

三、综合性问题349

4.4　几个著名的不等式370

一、Cauchy不等式及Schwarz不等式371

a．Cauchy不等式371

b．Schwarz不等式373

c．Schwarz不等式的应用374

二、平均值不等式379

a．基本形式379

b．平均值不等式的推广形式380

c．平均值不等式的积分形式382

三、H？lder不等式385

a．基本形式385

b．H？lder不等式的积分形式386

四、H.Minkowski不等式387

a．基本形式387

b．H.Minkowski不等式的积分形式388

c．n元Minkowski不等式388

五、W.H.Young不等式389

4.5　反常积分394

一、反常积分的计算394

a．三大基本方法394

b．其他方法398

二、反常积分敛散性的判定（十二法）401

三、无穷限的反常积分的收敛性与无穷远处的极限413

四、反常积分的极限418

五、反常积分作为“积分和”的极限427

六、综合性问题430

第五章　级数437

5.1　数项级数437

一、求和问题437

a．利用已知级数437

b．连锁消去法438

c．方程式法439

d．利用子序列的极限440

e．先求S′n（x）的紧缩形式442

二、级数收敛性的判断443

a．Cauchy准则及其应用443

b．正项级数敛散性的判定445

c．变号级数收敛性的判断455

三、级数敛散性的应用459

a．收敛性的应用459

b．发散性的应用462

四、级数问题的若干反例465

五、数项级数与反常积分的关系469

a．关于收敛性469

b．“和”值的计算与估计471

c．反常积分作为级数的极限473

5.2　函数项级数481

一、一致收敛性的判断481

a．利用一致收敛的定义481

b．利用Cauchy准则判断一致收敛性492

c．利用常用的判别法证明一致收敛性497

d．一致有界与等度连续507

二、一致收敛级数的性质514

a．关于逐项取极限514

b．和函数的连续性517

c．和函数的可微性与逐项求导520

d．逐项积分与积分号下取极限526

e．和函数的其他性质（综合性问题）529

5.3　幂级数538

一、幂级数的收敛半径与收敛范围539

a．公式法539

b．缺项幂级数的收敛范围543

c．利用收敛半径求极限544

二、初等函数展为幂级数546

三、求和问题553

a．利用逐项求导与逐项求积分553

b．方程式法555

c．利用Abel第二定理计算数项级数的和557

四、幂级数的应用561

a．计算积分561

b．证明不等式566

c．近似计算567

五、综合性问题567

5.4　Fourier级数581

一、正交系581

二、Fourier系数583

三、求Fourier展开式588

a．求Fourier展开式的基本方法588

b．求Fourier展开式的一些别的方法596

四、综合性问题600

第六章　多元函数微分学618

6.1 欧氏空间·多元函数的极限与连续618

一、m维欧氏空间618

a．利用模的定义618

b．利用距离的定义和性质619

c．利用开集、闭集的定义619

d．利用边界的定义与聚点性质620

二、多元函数的极限622

a．多元函数极限的计算622

b．证明二元极限不存在623

c．关于全面极限与特殊路径极限的进一步讨论624

d．累次极限交换次序问题626

三、多元连续函数628

a．连续性的证明628

b．全面连续与按单变量连续的关系631

c．连续性的等价描述634

d．连续函数性质的应用635

e．一致连续性639

6.2　多元函数的偏导数647

一、偏导数的计算647

二、复合函数微分法（链锁法则）648

三、偏导数转化为极限653

四、对微分方程作变量替换654

a．对自变量作变量替换654

b．自变量与因变量都变化的变量替换658

五、多元函数的可微性661

6.3 多元Taylor公式·凸函数·几何应用·极值676

一、多元Taylor公式676

二、凸函数680

三、几何应用683

四、极值688

a．自由极值688

b．条件极值与Lagrange乘数法689

c．求函数在闭区域上的最大最小值692

d．用极值证明不等式694

e．极值应用问题697

6.4 隐函数存在定理及函数相关722

一、隐函数存在定理722

a．一个方程的情况722

b．多个方程的情况727

二、函数相关732

a．定义732

b．函数无关的条件733

c．齐次线性函数的情况734

d．判定定理735

6.5　方向导数与梯度744

一、方向导数的计算744

二、梯度的计算748

第七章　多元积分学756

7.1　含参变量积分756

一、含参变量的正常积分756

a．积分号下取极限与连续性守恒756

b．积分号下求导与积分号下求积分759

二、判断含参变量反常积分的一致收敛性765

a．利用定义判断765

b．用Cauchy准则判断768

c.用M判别法判断772

d．Abel判别法与Dirichlet判别法774

三、含参变量反常积分的极限与连续性777

a．积分号下取极限777

b．含参变量反常积分的连续性781

四、含参变量反常积分积分号下求导与积分号下求积分785

a．积分号下求导785

b．积分号下求积分789

五、反常积分的计算791

a．利用积分号下求导791

b．通过建立微分方程求积分值793

c．引入收敛因子法793

d．利用反常积分定义及变量替换795

e．利用别的积分800

六、综合性例题801

七、Euler积分805

a．Euler积分及其基本变形805

b．Euler积分的相互转换807

c．利用Euler积分表示其他积分808

d．余元公式的利用813

7.2　重积分831

一、二重积分832

a．二重积分定义的应用832

b．证明可积性833

c．二重积分的计算835

二、三重积分862

a．三重积分化为累次积分862

b．三重积分换元867

三、二重、三重反常积分884

a．比较判别法886

b．对非负被积函数可用特殊方式切割取极限887

c．（变号函数）用不同方式切割，极限不同，以证明发散891

d．用某种方式切割，极限不存在，以证积分发散892

e．Cauchy判别法的利用893

f．Cauchy准则的利用894

g．二重、三重反常积分的计算895

四、n重积分898

a．化为累次积分899

b．变量替换901

c．递推与降维904

d．利用积分定义908

7.3　曲线积分与Green公式921

一、曲线积分的性质与计算921

a．对称性921

b．曲线积分化为定积分924

c．曲线积分的性质932

二、Green公式933

a．计算封闭曲线上的线积分934

b．计算开口曲线上的线积分938

c．用于计算第一型曲线积分939

d．由积分性质导出微分性质941

三、积分与路径无关的问题943

a．利用与路径无关性计算线积分944

b．利用原函数求积分948

c．利用线积分求原函数950

7.4 曲面积分Gauss公式及Stokes公式966

一、第一型曲面积分的计算966

a．利用对称性966

b．利用公式计算第一型曲面积分967

二、第二型曲面积分的计算975

a．利用对称性976

b．用公式化第二型曲面积分为二重积分977

c．利用两种曲面积分的关系解题982

三、Gauss公式982

a．利用Gauss公式计算曲面积分983

b．从积分性质导出微分性质990

四、Stokes公式992

7.5　场论1017

一、利用梯度、散度和旋度的定义直接证明有关公式1017

a．数量等式1018

b．向量等式1019

c．求旋度和散度1020

二、梯度、散度、旋度的基本公式及其应用1022

三、借助场论符号表示积分公式1025

四、四种重要的向量场1030