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第一编 一道联赛试题的背景3

第1章 从一道全国高中数学联赛试题的解法谈起3

第2章 斯通和魏尔斯特拉斯逼近定理13

第3章 魏尔斯特拉斯和斯通小传26

第4章 魏尔斯特拉斯定理的两种形式31

1魏尔斯特拉斯定理的叙述31

2勒贝格方法36

3朗道方法42

4伯恩斯坦方法46

5伯恩斯坦多项式的一些性质53

6定理4.2的证明及定理4.1与4.2之间的关系61

7关于内插结点的法贝尔定理68

8费耶尔的收敛内插过程79

第5章 魏尔斯特拉斯逼近定理的两个简明证法83

第6章 大师和学生——贝尔论89

第7章 胡作玄论魏尔斯特拉斯和他的解析函数论126

1魏尔斯特拉斯小传126

2魏尔斯特拉斯的解析函数论131

第二编 从一道Putnam试题谈起137

第8章 引言137

第9章 平均乘方逼近与一致（最佳）逼近138

1平均值理论138

2用给定次数的多项式的平均乘方逼近与最佳逼近152

3由切比雪夫指出的最佳逼近条件164

4计算最佳逼近的例173

5连续与可微函数的最佳逼近186

6关于多项式的导数的最大模的伯恩斯坦定理196

7伯恩斯坦定理，杰克逊定理的逆定理206

8函数的最佳逼近按序列导数的最大模的估值210

9解析函数的最佳逼近214

10所得结果在研究傅里叶与拉格朗日级数，内插方法以及机械求积公式等的收敛性上的应用224

第10章 复数域上的内插与逼近232

1一般评述232

2在复数域内的有限内插法235

3拉格朗日内插余项的复积分形式238

4在复数域上内插过程的收敛性241

5内插法的校正因子252

6用逐次导数作内插时误差的估值256

7相应于魏尔斯特拉斯定理的定理264

8复数域上的平方逼近、舍格多项式与卡勒曼多项式273

9复数域上平方逼近的收敛性293

10复数域上内插的一般概型298

11复数域上的最佳逼近305

第三编 上升到泛函分析的高度去认识315

第11章 线性赋范空间中的逼近问题315

1逼近论基本问题的提出315

2度量空间316

3线性赋范空间317

4线性赋范空间的例318

5赫尔德与闵可夫斯基不等式320

6线性赋范空间进一步的例子324

7希尔伯特空间325

8线性赋范空间中逼近的基本定理327

9严格赋范空间329

10空间Lp中的例331

11几何解释332

12关于可分空间及完备空间的概念333

13在空间H中的逼近定理335

14再论空间H中的逼近问题344

15 H中的正交就范向量组347

16向量组的正交化348

17无穷正交就范组351

18不可分空间的例355

19魏尔斯特拉斯第一定理356

20魏尔斯特拉斯第二定理359

21空间C的可分性361

22空间Lp的可分性362

23魏尔斯特拉斯定理在空间Lp上的推广366

24空间Lp的完备性367

25在L2中完全正交就范组的例369

26 Muntz定理374

27线性泛函数377

28黎斯定理379

29在任意线性赋范空间中向量集合封闭性的判别法382

第12章 切比雪夫的理论385

1 问题的提出385

2推广的瓦赖-泊松定理387

3存在定理388

4切比雪夫定理390

5特殊情形394

6与零最小偏差的切比雪夫多项式395

7切比雪夫定理的进一步的例子396

8应用瓦赖-泊松定理的例398

9应用一般切比雪夫定理的例401

10转到周期函数405

11例子406

12魏尔斯特拉斯函数407

13哈尔问题409

14哈尔条件必要性的证明410

15 哈尔条件充分性的证明411

16又一个例416

17切比雪夫函数组418

18切比雪夫定理的推广420

19关于一个在度量空间L中逼近连续函数的问题423

20马尔可夫定理429

21特殊情形433

第四编 各种补充与问题441

第13章 极值的简单问题与封闭性的某些判别法441

第14章 舍格的一个定理和它的应用460

第15章 封闭函数序列的又一些例子473

第16章 卡拉皆乌独利-费耶尔问题及其联系的问题478

第17章 左洛塔留夫的问题及其有关问题494

第18章 最简单的解析函数的最佳调和逼近507

附录1 Muntz定理及推广516

0引言516

1函数系｛xn｝的最佳逼近517

2｛xλn｝的完备性问题，其中λn为实数518

3 ｛ xλn｝的完备性问题，其中λn为复数520

4 ｛xλn｝的进一步研究521

5 ｛ zλn｝在复平面上的完备性问题522

6函数系｛zλn｝在无界曲线或无界区域上加权后的完备性问题525

7函数系｛xλn｝的其他推广528

8函数系｛xλn｝在区间上的最佳逼近问题529

附录2机械工程中的函数逼近问题541

1有界限的一致逼近541

2用圆弧样条函数逼近连续函数545

3用奇次幂多项式的复合多项式逼近连续函数550

附录3线性赋范空间内的最佳逼近556

编辑手记572