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第一篇 复变函数3

第1章 复数与复变函数3

1.1 复数3

1.1.1 复数及其代数运算3

1.1.2 复数的几何表示5

1.1.3 复数四则运算的几何意义7

1.1.4 扩充复平面10

1.2 复数的乘幂与方根11

1.2.1 复数的乘幂11

1.2.2 复数的方根12

1.3 平面点集14

1.3.1 区域14

1.3.2 曲线14

1.3.3 单连通域和多连通域15

1.4 复变函数15

1.4.1 复变函数的概念15

1.4.2 复变函数的几何解释——映照17

1.4.3 反函数与复合函数18

1.5 初等函数19

1.5.1 指数函数19

1.5.2 对数函数20

1.5.3 幂函数22

1.5.4 三角函数与反三角函数22

1.5.5 双曲函数与反双曲函数25

第1章习题25

第2章 导数31

2.1 复变函数的极限31

2.1.1 复变函数极限的概念31

2.1.2 复变函数极限定理32

2.2 复变函数的连续性35

2.2.1 复变函数连续的概念35

2.2.2 复变函数连续的定理35

2.3 导数36

2.3.1 导数的概念36

2.3.2 导数的运算法则38

2.3.3 函数可导的必要与充分条件39

2.3.4 高阶导数43

2.4 解析函数43

2.4.1 解析函数的概念43

2.4.2 初等函数的解析性44

2.4.3 函数解析的必要与充分条件44

2.5 调和函数45

2.5.1 调和函数的概念45

2.5.2 已知实部或虚部的解析函数的表达式46

第2章习题49

第3章 积分54

3.1 积分的概念、性质、计算54

3.1.1 原函数与不定积分54

3.1.2 积分及其性质55

3.1.3 积分∫cf（z）dz值的计算57

3.2 柯西定理及其推广59

3.3 柯西积分公式65

3.4 解析函数的导数66

第3章习题69

第4章 级数76

4.1 收敛序列与收敛级数76

4.1.1 收敛序列76

4.1.2 收敛数项级数78

4.1.3 函数项级数80

4.2 幂级数80

4.2.1 幂级数的概念80

4.2.2 幂级数的收敛半径82

4.2.3 幂级数和函数的性质84

4.3 泰勒级数85

4.4 洛朗级数91

4.4.1 洛朗级数的概念91

4.4.2 解析函数的洛朗展式92

第4章习题98

第5章 留数103

5.1 解析函数的孤立奇点103

5.1.1 孤立奇点z0的定义及分类103

5.1.2 零点与极点的关系106

5.1.3 孤立奇点∞的定义及分类108

5.2 留数的一般理论109

5.2.1 留数的定义及计算109

5.2.2 留数定理112

5.2.3 无穷远点的留数114

5.3 留数在计算定积分和反常积分中的应用117

第5章习题121

第6章 保形映照125

6.1 导数的几何意义及保形映照的概念125

6.1.1 曲线的切向量125

6.1.2 导数的几何意义125

6.1.3 保形映照的概念126

6.2 分式线性函数及其映照性质127

6.2.1 分式线性函数127

6.2.2 分式线性函数的映照性质129

6.3 分式线性函数的应用132

6.4 指数函数与幂函数所确定的映照135

6.4.1 指数函数w＝ez所确定的映照135

6.4.2 幂函数w＝zn所确定的映照139

第6章习题142

第7章 解析函数对平面向量场的应用146

7.1 平面向量场146

7.2 平面场的复势148

7.3 应用151

7.3.1 对流体力学的应用151

7.3.2 对电学的应用154

第二篇 积分变换159

第1章 傅里叶变换159

1.1 傅里叶积分159

1.1.1 傅里叶积分的概念159

1.1.2 傅里叶积分的物理意义——频谱160

1.1.3 傅里叶积分定理164

1.2 傅里叶变换165

1.2.1 傅里叶变换的定义165

1.2.2 傅里叶变换的性质168

1.3 δ函数及其傅里叶变换179

1.3.1 δ函数的概念179

1.3.2 δ函数的性质183

1.3.3 δ函数的傅里叶变换185

1.4 离散傅里叶变换和离散沃尔什变换187

1.4.1 离散傅里叶变换187

1.4.2 快速傅里叶变换190

1.4.3 离散沃尔什变换193

第1章习题196

第2章 拉普拉斯变换199

2.1 拉普拉斯变换的概念199

2.1.1 拉普拉斯积分199

2.1.2 拉普拉斯变换203

2.2 拉普拉斯逆变换205

2.3 拉普拉斯变换的性质209

2.4 拉普拉斯变换的应用225

2.4.1 线性微分方程及微分方程组225

2.4.2 具有特殊扰动函数的微分方程230

2.5 梅林变换和z变换232

2.5.1 梅林变换232

2.5.2 z变换234

第2章习题237

数学实验245

实验一 Matlab软件的应用245

实验二 快速傅里叶变换、拉普拉斯逆变换的计算程序248

附录A 区域变换表260

附录B 傅里叶变换简表265

附录C 拉普拉斯变换简表270

习题答案276

主要参考书291