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关于抽象1

第1章 拓扑与测度2

1.1 集与映射2

1.1.1 集与映射的概念2

1.1.2 积集，商集，极限集5

1.1.3 Cantor定理与Zorn引理7

1.2 拓扑空间9

1.2.1 拓扑空间的基本概念10

1.2.2 可数性公理及分离性公理15

1.2.3 紧性与连通性20

1.3 测度空间27

1.3.1 可测空间与可测映射27

1.3.2 实值函数与复值函数的可测性32

1.3.3 测度的基本性质35

1.3.4 Lebesgue测度42

习题45

第2章 抽象积分47

2.1 可测函数的积分47

2.1.1 Lebesgue积分的定义48

2.1.2 单调收敛定理50

2.1.3 Lebesgue积分的基本性质51

2.2 积分收敛定理及应用55

2.2.1 积分收敛定理55

2.2.2 Riemann可积性65

2.2.3 可测函数的连续性68

2.3 乘积空间上的积分及不等式73

2.3.1 积空间的可测性73

2.3.2 乘积测度75

2.3.3 Fubini定理77

2.3.4 积分不等式81

2.4 不定积分的微分85

2.4.1 单调函数的导数85

2.4.2 有界变差函数89

2.4.3 绝对连续函数92

2.4.4 Stieltjes积分与广义的测度98

习题102

第3章 Banach空间理论基础106

3.1 向量与度量的基本空间类106

3.1.1 线性空间与凸集106

3.1.2 度量空间与球114

3.1.3 赋范空间及例子120

3.1.4 内积空间及例子127

3.2 拓扑线性空间131

3.2.1 拓扑线性空间及其原点的邻域132

3.2.2 局部有界空间与局部凸空间137

3.2.3 空间的同构146

3.3 完备性与可分性147

3.3.1 空间的完备性147

3.3.2 空间的稠密性与可分性152

3.3.3 Baire纲定理159

3.4 紧性与有限维空间162

3.4.1 度量空间中的紧性162

3.4.2 有限维空间167

3.4.3 Arzela-Ascoli定理与Mazur定理170

习题173

第4章 线性算子理论基础177

4.1 线性算子与泛函的有界性177

4.1.1 有界性与连续性177

4.1.2 算子空间的完备性180

4.1.3 线性泛函的零空间182

4.1.4 线性算子范数的估算184

4.2 线性算子的基本定理187

4.2.1 一致有界原理187

4.2.2 开映射定理191

4.2.3 闭图像定理196

4.3 线性泛函的基本定理199

4.3.1 Hahn-Banach定理199

4.3.2 Hahn-Banach定理的几何形式204

4.3.3 凸集隔离定理205

4.4 共轭性与弱收敛208

4.4.1 共轭空间的表示208

4.4.2 自反空间与自然嵌入算子216

4.4.3 Banach共轭算子218

4.4.4 点列的弱收敛性221

4.4.5 算子列的弱收敛性227

习题230

第5章 抽象空间的几何233

5.1 Hilbert几何233

5.1.1 规范正交基233

5.1.2 正交投影240

5.1.3 共轭性242

5.2 空间的构作与分解253

5.2.1 积空间与商空间253

5.2.2 空间的分解与投影257

5.2.3 零化子265

5.2.4 线性紧算子与Fredholm算子268

5.3 弱紧性与凸性280

5.3.1 弱拓扑与弱＊拓扑280

5.3.2 弱＊紧性，弱紧性与自反性285

5.3.3 凸集的端点294

5.3.4 凸性与光滑性296

5.3.5 最佳逼近306

习题308

第6章 不动点理论初步313

6.1 Banach压缩映射原理313

6.2 凸紧集上的不动点定理318

6.3 压缩扰动、非扩张映射与集值映射327

习题335

第7章 Banach代数与谱理论初步337

7.1 Banach代数与谱337

7.2 有界线性算子的谱349

7.3 符号演算与谱分解362

习题379

第8章 向量值函数与算子半群初步382

8.1 向量值函数382

8.2 算子半群的基本性质394

8.3 算子半群的生成元表示399

习题408

第9章 无界线性算子初步410

9.1 图范数及可闭性410

9.2 对称算子416

9.3 无界算子的谱425

习题432

参考文献435