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引言1

1 什么是组合数学1

2 组合问题举例2

3 预备知识5

第一章 排列与组合12

1.1 排列与组合12

1.1.1 排列12

1.1.2 组合15

1.2 排列与组合的生成19

1.2.1 排列的生成19

1.2.2 组合的生成23

1.2.3 k-排列的生成24

1.3 二项式系数与组合恒等式24

1.3.1 二项式系数24

1.3.2 组合恒等式26

1.4 分配问题30

1.4.1 12种分配问题30

1.4.2 其它类型分配问题32

习题一34

第二章 特殊计数38

2.1 格子点38

2.1.1 增路38

2.1.2 折线40

2.2 Catalan数43

2.3 正整数的分拆47

2.3.1 有序分拆47

2.3.2 分拆数48

2.3.3 正整数的分拆与分配问题53

2.4 集合的分拆和第二类Stiriling数53

2.4.1 集合的分拆53

2.4.2 第二类Stirling数的定义54

2.4.3 第二类Stirling数的递归关系55

2.4.4 第二类Stirling数的解析定义56

2.4.5 第二类Stirling数的计数公式57

2.4.6 集合的分拆与分配问题57

2.5 置换和第一类Stiriling数59

2.5.1 置换中的轮换59

2.5.2 第一类Stirling数的定义61

2.5.3 第一类Stirling数的递归关系61

2.5.4 第一类Stirling数的解析定义62

2.5.5 两类Stirling三角矩阵的性质63

习题二64

第三章 母函数67

3.1 母函数的定义67

3.2 母函数的性质72

3.2.1 形式幂级数及其运算73

3.2.2 母函数的性质75

3.2.3 母函数的闭公式79

3.3 组合数的母函数（普通型母函数）81

3.4 排列个数的指数型母函数84

3.5 分拆数的母函数92

3.5.1 分拆数的母函数93

3.5.2 分拆数的Euler公式95

习题三98

第四章 递归关系100

4.1 基本概念和例子100

4.2 几类递归关系的解法106

4.2.1 一阶递归关系106

4.2.2 r阶齐次常系数线性递归关系108

4.2.3 r阶非齐次常系数线性递归关系114

4.2.4 卷积型递归关系118

4.2.5 线性常系数递归关系组120

4.3 递归关系的应用举例124

4.4 差分方程131

4.4.1 差分运算132

4.4.2 差分表134

4.4.3 差分方程137

习题四142

第五章 容斥原理146

5.1 引言146

5.2 容斥原理的基本公式147

5.2.1 模型与记号148

5.2.2 基本公式149

5.3 容斥原理的推广154

5.3.1 Jordan定理154

5.3.2 容斥原理的赋权形式156

5.4 容斥原理的应用举例157

5.4.1 Euler函数157

5.4.2 带限制条件的可重复组合问题158

5.4.3 耦合问题和错位排列159

5.4.4 限位排列161

5.4.5 Ménage问题162

5.4.6 带限制条件的可重复排列问题163

5.5 计数问题回顾164

习题五168

第六章 鸽笼原理与Ramsey定理170

6.1 鸽笼原理170

6.1.1 鸽笼原理的基本形式170

6.1.2 鸽笼原理的一般形式172

6.1.3 鸽笼原理的推广形式175

6.2 Ramsey问题176

6.2.1 完全图Kn的边着色177

6.2.2 Ramsey定理181

6.2.3 Ramsey数185

6.3 染色问题与染色方法187

习题六194

第七章 Pólya计数定理196

7.1 引论196

7.2 置换群及其计数模式197

7.2.1 回顾置换群的概念197

7.2.2 计数问题的数学模式199

7.3 Pólya计数定理202

7.3.1 置换群的轮换指标202

7.3.2 Pólya定理的特殊情形203

7.3.3 Pólya定理203

7.3.4 Pólya定理的推广204

7.4 Pólya计数定理的应用举例205

7.5 Pólya计数定理的证明213

7.5.1 群在集合上的作用213

7.5.2 Burnside引理214

7.5.3 Pólya计数定理的证明216

7.5.4 Pólyo计数定理的推广217

习题七219