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第1章　绪论1

1.1　课程的内容、意义和特点1

1.2　误差的基本概念2

1.2.1　误差的来源2

1.2.2　误差与有效数字3

1.3　数值计算中的误差估计6

1.3.1　一元函数的误差估计6

1.3.2　二元函数的误差估计7

1.3.3　四则运算的误差7

1.4　设计算法的若干原则8

习题112

第2章　非线性方程的数值解法14

2.1 引言14

2.1.1　问题的背景14

2.1.2　一元方程根的隔根区间14

2.2　二分法15

2.3　迭代法17

2.3.1　迭代法的基本思想17

2.3.2　根的存在性与迭代法的收敛性19

2.3.3　局部收敛性与收敛速度21

2.4　迭代收敛的加速方法24

2.4.1　迭代-加速方法24

2.4.2　埃特金加速方法26

2.5　牛顿迭代法27

2.5.1　牛顿迭代法及其收敛性27

2.5.2　简化牛顿法32

2.6 弦截法32

2.6.1　单点弦截法32

2.6.2　双点弦截法34

2.7 MATLAB解法及主要程序35

2.7.1 MATLAB算法35

2.7.2　主要程序37

习题240

数值实验题41

第3章　解线性方程组的直接法43

3.1　高斯消去法43

3.1.1 高斯消去法的计算过程43

3.1.2 高斯消去法的矩阵解释46

3.1.3　高斯消去法的运算量48

3.2　主元素消去法49

3.2.1　列主元素法50

3.2.2　全主元素法51

3.2.3　高斯-约当消去法52

3.3　三角分解法53

3.3.1　LU分解法53

3.3.2　对称正定矩阵的平方根法55

3.3.3　解三对角方程组的追赶法59

3.4　向量范数与矩阵范数61

3.4.1 向量范数62

3.4.2　矩阵范数63

3.5　方程组的敏感性、条件数66

3.6　MATLAB解法及主要程序69

3.6.1 解方程组的MATLAB命令及函数69

3.6.2　主要程序71

习题375

数值实验题77

第4章 解线性方程组的迭代法78

4.1　基本迭代法78

4.1.1　Jacobi迭代法79

4.1.2　Gauss-Seidel迭代法80

4.1.3　超松弛迭代法81

4.2　迭代法的收敛性83

4.2.1　单点线性迭代法的基本定理84

4.2.2　特殊方程组的几个常用判别条件86

4.3　MATLAB解法及主要程序90

4.3.1　有关的MATLAB函数90

4.3.2　主要程序91

习题493

数值实验题95

第5章　矩阵特征值与特征向量的计算96

5.1　幂法与反幂法96

5.1.1　幂法96

5.1.2　幂法的加速100

5.1.3　反幂法102

5.2　Jacobi方法104

5.3　QR算法110

5.4 MATLAB解法及主要程序111

5.4.1　相关命令111

5.4.2　主要程序113

习题5116

数值实验题117

第6章　插值法118

6.1　引言118

6.2　拉格朗日插值119

6.2.1　插值基函数120

6.2.2　拉格朗日插值多项式121

6.2.3　拉格朗日插值多项式的余项122

6.3　均差与牛顿插值125

6.3.1　均差及其性质125

6.3.2　牛顿插值公式126

6.4　差分与等距节点插值128

6.4.1　差分的定义及性质128

6.4.2　等距节点插值多项式及其余项129

6.5　Hermite插值132

6.5.1　完全Hermite插值问题132

6.5.2　不完全Hermite插值问题135

6.6　分段低次插值135

6.6.1　高次插值的病态性质136

6.6.2　分段线性插值136

6.6.3　分段三次Hermite插值138

6.7　三次样条插值139

6.7.1　三次样条插值函数的定义140

6.7.2　三次样条插值函数的构造141

6.8　MATLAB解法及主要程序147

6.8.1 MATLAB命令147

6.8.2　主要程序150

习题6154

数值实验题156

第7题　最小二乘法与曲线拟合157

7.1　用最小二乘法求解矛盾方程组157

7.1.1　矛盾方程组157

7.1.2　最小二乘法158

7.2　非线性曲线拟合161

7.2.1　多项式拟合161

7.2.2　对数曲线拟合164

7.2.3　指数曲线拟合165

7.2.4　其它非线性曲线的拟合167

7.3　MATLAB解法及主要程序169

7.3.1 MATLAB算法169

7.3.2　主要程序170

习题7174

数值实验题175

第8章　数值积分与数值微分177

8.1　引言177

8.2 牛顿—柯特斯求积公式178

8.2.1　插值型求积方法178

8.2.2　梯形求积公式和辛普森求积公式178

8.2.3 牛顿—柯特斯公式179

8.2.4　代数精确度181

8.2.5　偶数阶求积公式的代数精确度182

8.2.6　几种低阶求积公式的余项183

8.2.7　求积公式的收敛性与稳定性184

8.3　复化求积公式185

8.3.1　复化梯形求积公式及其余项185

8.3.2　复化辛普森求积公式及其余项186

8.3.3　区间逐次分半求积法188

8.4　龙贝格求积方法190

8.5　高斯求积公式193

8.5.1 高斯型求积公式193

8.5.2　常用的高斯型求积公式196

8.5.3 高斯求积公式的余项199

8.5.4 高斯求积公式的数值稳定性和收敛性200

8.6　数值微分200

8.6.1 中点方法与误差分析200

8.6.2　插值型求导公式202

8.7　MATLAB解法及主要程序204

8.7.1　MATLAB命令204

8.7.2　主要程序206

习题8210

数值实验题212

第9章 常微分方程初值问题的数值解法214

9.1 引言214

9.2　欧拉法和改进欧拉法215

9.2.1　欧拉法215

9.2.2　局部截断误差和阶217

9.2.3　隐式欧拉法和两步法218

9.2.4　梯形法219

9.2.5　改进的欧拉公式221

9.3　龙格-库塔法222

9.3.1　Taylor级数法222

9.3.2　龙格-库塔法的基本思想223

9.3.3　二阶显式R-K方法224

9.3.4　三阶、四阶显式R-K方法225

9.3.5　变步长R-K方法228

9.4　单步法的收敛性与稳定性229

9.4.1 收敛性229

9.4.2　绝对稳定性230

9.5　线性多步法233

9.5.1　用数值积分法构造线性多步公式233

9.5.2　用泰勒展开法构造线性多步公式236

9.5.3　几种重要的4阶线性多步格式238

9.5.4　预测-校正技术和外推技巧241

9.6　一阶常微分方程组的数值解法244

9.7 MATLAB解法及主要程序247

9.7.1 MATLAB算法247

9.7.2　主要程序249

习题9253

数值实验题254

附录A MATLAB简介256

A.1　MATLAB的发展历史256

A.2　MATLAB语言的特点257

A.3 MATLAB的工作环境258

A.4　数值计算262

A.5　图形功能272

A.6　符号运算282

A.7　程序设计290

附录B 部分习题参考答案300

参考文献306