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第一章 矢量1

1.1 引言1

1.2 矢量表示法1

1.3 矢量的分类2

1.4 矢量的加法4

1.6 矢量的乘法6

1.7 矢量空间或线性空间8

1.8 用矢量表示物理量的条件10

1.9 矢量的分解11

1.10 矢量的线性组合26

1.11 两个矢量的积31

1.12 矢量的三重积45

1.13 四个矢量的积60

1.14 矢量的的倒易系统63

1.15 矢量方程64

1.16 矢量对于力学的简单应用67

1.17 矢量的微分法76

1.18 微分的若干法则78

1.19 矢量的偏微分法94

1.20 矢量的偏微分法则97

1.21 数量场和矢量场102

1.22 方向导数104

1.23 等值面107

1.24 数量场的梯度107

1.25 数性点函数的梯度109

1.26 两个数性点函数之和的梯度110

1.27 两个数性点函数之积的梯度111

1.28 矢性点函数的散度116

1.29 两个矢函数的散度118

1.30 乘积的散度119

1.31 矢性点函数的旋度128

1.32 两个矢性点函数之和的旋度129

1.33 两个矢性点函数之积的旋度131

1.34 用旋度表示数积的梯度134

1.35 用旋度表示矢积的散度134

1.36 曲线坐标158

1.37 正交曲线坐标159

1.38 正交条件161

1.39 两相互正交矢量三元组的倒易集163

1.40 用正交坐标系表示的梯度165

1.41 用正交坐标系表示的散度166

1.42 用正交坐标系表示的旋度168

1.43 用正交坐标系表示的拉普拉斯算子(▽2)170

1.44 ▽φ，▽·→F 和 ▽×→F 的直角坐标等价表达式170

1.45 圆柱坐标(特殊的曲线坐标)171

1.46 球极坐标(特殊的曲线坐标)173

1.47 矢量的积分法179

1.48 线积分185

1.49 面积分194

1.50 体积分208

1.51 高斯散度定理214

1.52 高斯定理的推论216

1.53 高斯散度定理的物理解释218

1.54 高斯定理219

1.55 两个格林恒等式221

1.56 平面上的格林定理230

1.57 平面上格林定理矢量形式232

1.58 格林公式235

1.59 泊松方程与它的解237

1.60 拉普拉斯方程与它的解238

1.61 空间里的斯托克斯定理242

1.62 若干定理255

1.63 矢量场的分类259

附加杂题260

第二章 矩阵275

2.1 定义和记法275

2.2 矩阵的相等278

2.3 矩阵的加法280

2.4 矩阵加法的性质285

2.5 矩阵的乘法291

2.6 矩阵乘法的性质293

2.7 矩阵分块302

2.8 矩阵与分块的乘积304

2.9 特殊矩阵307

2.10 矩阵的秩374

2.11 关于秩的若干定理376

2.12 线性方程的解392

2.13 克莱姆法则400

2.14 特征矩阵和矩阵的特征方程412

2.15 子空间和零空间417

2.16 变换422

2.17 埃尔米特形式427

2.18 矩阵的特征根和特征矢量(本征值和本征矢量)428

2.19 二次形式和它们的简化452

2.20 矩阵的微分法和积分法462

2.21 利用矩阵微分法解线性微分方程组464

附加杂题467

第三章 张量473

3.1 引言473

3.2 坐标变换477

3.3 求和约定与克罗内克符号477

3.4 按变换定律分类的张量478

3.5 对称张量和反对称张量485

3.6 不变张量491

3.7 控制张量分析的法则500

3.8 基本张量511

3.9 相伴张量：添标的上升和下降518

3.10 矢量(即—秩张量)的长度、两矢量之间的夹角和矢量的正交性522

3.11 度量张量、黎曼空间523

3.12 克里斯托弗尔三指标符号525

3.13 测地线方程530

3.14 克里斯托弗尔符号的变换定律533

3.15 矢量的平行位移538

3.16 矢量的共变导数540

3.17 张量的共变导数543

3.18 曲率张量(黎曼—克里斯托弗尔张量)550

3.19 黎曼—克里斯托弗尔张量或共变曲率张量552

3.20 某些重要结果558

3.21 算子的张量形式560

附加杂题561