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第一章 绪论1

1.1 引言1

1.2 常微分方程的几何积分方法及其研究现状3

1.3 研究背景与意义10

1.4 主要内容13

参考文献15

第二章 非线性动力学方程的新解法19

2.1 引言19

2.2 李级数解法20

2.2.1 基本方程20

2.2.2 常微分方程组初值问题的李级数解22

2.2.3 李级数数值方法23

2.2.4 N阶常微分方程的解法25

2.2.5 算例26

2.3 基于Laplace逆变换数值求解非线性动力学方程的新方法28

2.3.1 数学理论28

2.3.2 数值方法30

2.3.3 特例——线性常微分方程的求解31

2.3.4 算例32

2.4 基于Laplace数值反演的新方法34

2.4.1 关于函数的Laplace变换的数值反演方法34

2.4.2 基于Laplace变换数值反演的非线性动力学方程的新算法35

2.4.3 算例38

2.5 本章小结40

参考文献41

第三章 广义Hamilton系统的保结构算法42

3.1 引言42

3.2 Poisson流形上的广义Hamilton系统的数值解法44

3.2.1 Poisson流形及广义Hamilton系统的基本理论44

3.2.2 广义Hamilton系统的保结构算法46

3.2.3 广义Hamilton控制系统中算法的应用48

3.2.4 算例49

3.3 Hamilton系统的辛算法50

3.3.1 Hamilton系统50

3.3.2 Hamilton系统的辛算法52

3.3.3 共轭算法53

3.3.4 合成算法54

3.3.5 分裂合成方法55

3.4 BCH公式56

3.4.1 指数映射的导数及其逆映射56

3.4.2 BCH公式58

3.4.3 对称合成高阶算法61

3.5 耗散广义Hamilton自治系统的数值解法67

3.5.1 基本方程67

3.5.2 数值积分方法68

3.5.3 数值方法在广义Hamilton控制系统的应用70

3.5.4 算例71

3.6 广义Hamilton(控制)系统的离散梯度积分法72

3.6.1 系统模型72

3.6.2 离散梯度及离散梯度积分法73

3.6.3 算例77

3.7 非自治耗散广义Hamilton系统的解法79

3.7.1 广义Hamilton系统的Fer展开方法79

3.7.2 广义Hamilton系统的Magnus级数方法82

3.7.3 算例86

3.8 本章小结88

参考文献88

第四章 耗散广义Hamilton约束系统的李群积分法92

4.1 引言92

4.2 Hamilton约束系统的辛积分93

4.2.1 Hamilton约束系统93

4.2.2 Hamilton约束系统的辛积分96

4.2.3 Hamilton约束系统的高阶辛积分101

4.2.4 化为无约束系统的辛积分方法102

4.3 广义Hamilton约束系统及其变形的无约束系统104

4.4 广义Hamilton约束系统的李群积分法107

4.4.1 变形所得无约束广义Hamilton系统的李群积分法107

4.4.2 约束不变量的稳定性108

4.5 用投影技术求耗散广义Hamilton约束系统的李群积分109

4.5.1 变约束方程为无约束方程109

4.5.2 用投影技术求广义Hamilton约束系统的李群积分110

4.5.3 直接构造广义Hamilton约束系统李群积分的投影方法112

4.6 算例112

4.7 本章小结115

参考文献115

第五章 流形上微分方程的解法及李群理论117

5.1 引言117

5.2 流形119

5.3 李群122

5.4 流形上的切空间与向量场130

5.5 流形上的微分方程及其解法144

5.5.1 流形上的微分方程144

5.5.2 投影方法145

5.5.3 流形上基于局部坐标的数值方法146

5.6 李代数147

5.7 本章小结161

参考文献161

第六章 李群上微分方程的积分方法162

6.1 引言162

6.2 流形上微分方程的RKMK方法165

6.3 Crouch-Grossman方法166

6.4 基于第二类典则坐标的积分方法168

6.5 Magnus展开方法169

6.5.1 Magnus展开式169

6.5.2 Magnus级数展开与平面双枝树的关系173

6.6 Fer展开式176

6.7 本章小结180

参考文献180

第七章 一般非线性动力学方程的几何积分方法182

7.1 引言182

7.2 一般非线性动力学系统的增广动力学系统形式及其锥结构186

7.2.1 动力学系统的增广动力学系统形式186

7.2.2 洛仑兹群及其李代数的性质188

7.3 基于Cayley变换构造保群格式189

7.4 基于Pade逼近构造保群格式191

7.5 部分旋转矢量场195

7.6 Sn-1上的旋转矢量场198

7.7 基于Magnus展开式的近似方法199

7.7.1 线性常微分方程的求解方法199

7.7.2 在Minkowski空间构造非线性微分方程的近似解203

7.7.3 一个简单易行的四阶积分法212

7.7.4 基于解算子的Magnus展开式构造非线性微分方程的近似解法218

7.7.5 基于Magnus展开式的数值方法的收敛性分析229

7.8 基于Fer展开式构造非线性动力学方程的近似解法231

7.8.1 在Minkowski空间进行Fer展开231

7.8.2 基于Magnus展开式的Fer型近似解233

7.8.3 关于时间对称的Fer型积分格式234

7.8.4 动力学方程的解算子的Fer展开式235

7.8.5 基于Magnus展开式的另一类Fer型近似格式236

7.8.6 基于Fer展开的数值方法的收敛性分析237

7.8.7 算例238

7.9 本章小结240

参考文献241

第八章 基于RKMK方法构造一般非线性动力学方程的数值解法245

8.1 引言245

8.2 李群上微分方程的RKMK方法246

8.3 一般非线性动力学系统的李群算法248

8.4 算例250

8.5 几何积分方法的向后误差分析性质253

8.5.1 向后误差分析的基本概念253

8.5.2 几何积分方法的向后误差分析性质255

8.5.3 向后误差分析的截断误差255

8.6 本章小结257

参考文献257

第九章 非线性动力学方程的精细积分法260

9.1 引言260

9.2 非线性动力学方程在Minkowski空间的精细积分方法261

9.3 增维的精细积分法263

9.4 对称合成方法264

9.5 精细Runge-Kutta方法265

9.6 算例267

9.7 本章小结271

参考文献274