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(下册)1

第七章 多元函数微分学1

7.1 多元函数的基本概念1

1.1 区域1

1.2 多元函数的概念3

1.3 多元函数的极限5

1.4 多元函数的连续性7

1.5 有界闭区域上连续函数的性质8

习题7.19

7.2 偏导数10

2.1 偏导数的概念与计算11

2.2 高阶偏导数13

习题7.215

7.3 全微分及其应用17

3.1 全微分的概念17

3.2 可微的必要条件与充分条件17

3.3 全微分在近似计算中的应用20

习题7.322

7.4 多元复合函数的微分法24

4.1 复合函数偏导数的求法24

4.2 全微分形式的不变性27

4.3 变量替换28

4.4 本节小结31

习题7.432

7.5 隐函数存在定理与隐函数的微分法33

5.1 一个方程的情形33

5.2 方程组的情形35

习题7.538

7.6 方向导数与梯度39

6.1 方向导数39

6.2 梯度41

7.7 空间曲线的切线与曲面的切平面43

习题7.643

7.1 空间曲线的切线与法平面44

7.2 曲面的切平面与法线45

习题7.747

7.8 二元函数的泰勒公式48

习题7.851

7.9 多元函数的极值及其应用52

9.1 极值的必要条件与充分条件52

9.2 多元函数最值问题应用举例，最小二乘法54

9.3 条件极值，拉格朗日乘子法58

习题7.962

8.1 多元函数黎曼积分的概念与性质64

1.1 二个实例64

第八章 多元函数的积分及其应用64

1.2 多元函数黎曼积分的概念66

1.3 多元函数黎曼积分的存在性定理与性质68

习题8.172

8.2 二重积分的计算与曲面的面积73

2.1 二重积分在直角坐标系下的计算73

习题8.2(a)79

2.2 在极坐标系下计算二重积分80

2.3 二重积分的一般变量替换83

2.4 曲面面积的计算86

习题8.2(b)88

8.3 三重积分的计算90

3.1 三重积分在直角坐标系下的计算90

习题8.3(a)93

3.2 在柱坐标系下计算三重积分94

3.3 在球坐标系下计算三重积分96

3.4 三重积分的一般变量替换99

习题8.3(b)100

8.4 第一型曲线积分与曲面积分的计算101

4.1 第一型曲线积分的计算101

4.2 第一型曲面积分的计算104

习题8.4107

5.1 物体的质心与转动惯量公式109

8.5 多元函数黎曼积分的物理应用109

5.2 古鲁金定理112

5.3 物体对质点引力的计算114

习题8.5116

第九章 第二型曲线积分、曲面积分与场论118

9.1 第二型曲线积分的概念与计算118

1.1 第二型曲线积分的概念与性质118

1.2 第二型曲线积分的坐标形式121

1.3 第二型曲线积分的计算121

习题9.1125

2.1 格林公式127

9.2 格林公式及其应用127

2.2 平面上曲线积分与路径无关的条件132

习题9.2136

9.3 第二型曲面积分的概念与计算139

3.1 第二型曲面积分的概念与性质140

3.2 第二型曲面积分的坐标形式及其计算公式144

习题9.3146

9.4 高斯公式，斯托克斯公式148

4.1 高斯公式148

4.2 斯托克斯公式153

习题9.4157

9.5 场论159

5.1 数量场的梯度场与哈密顿算子159

5.2 散度160

5.3 旋度162

5.4 保守场163

习题9.5165

9.6 向量分析介绍167

6.1 向量函数的极限与连续167

6.2 向量函数的导数与微分168

第十章 级数169

10.1 级数的概念及其性质169

1.1 级数的概念169

1.2 收敛级数的基本性质171

习题10.1174

10.2 正项级数的收敛判别法175

2.1 比较判别法175

2.2 积分判别法177

习题10.2179

10.3 一般项级数180

3.1 交错级数180

3.2 绝对收敛及其判别法181

3.3 绝对收敛级数的性质183

习题10.3185

10.4 广义积分收敛判别法，Г-函数与B-函数186

4.1 广义积分的审敛法187

4.2 Г-函数与B-函数191

习题10.4195

10.5 幂级数196

5.1 函数项级数的一般概念196

5.2 幂级数及其收敛半径197

5.3 幂级数的运算及其和函数的性质199

习题10.5202

10.6 泰勒级数203

6.1 泰勒级数的概念203

6.2 函数的幂级数展开举例205

6.3 幂级数在近似计算中的应用208

6.4 复数项级数，欧拉公式211

习题10.6212

10.7 傅里叶级数213

7.1 傅里叶系数与傅里叶级数214

7.2 傅里叶级数的收敛定理215

7.3 函数在［0，l］上展开为正弦级数或余弦级数218

7.4 函数在任意区间［α，β］上的展开220

7.5 傅里叶级数的复数形式220

习题10.7223

第十一章 微分方程226

11.1 初等变换226

1.1 齐次方程226

1.2 可化为齐次的方程229

1.3 贝努里方程231

习题11.1232

11.2 全微分方程233

2.1 全微分方程的概念与解法233

2.2 积分因子236

习题11.2237

11.3 一阶隐式方程与可降阶的二阶方程238

3.1 可解出y′的一阶隐式方程238

3.2 可降阶的二阶微分方程238

4.1 二阶线性方程解的结构241

11.4 二阶线性微分方程241

习题11.3241

4.2 二阶常系数齐次线性方程的解法244

4.3 高阶常系数齐次线性方程的解法246

习题11.4(a)247

4.4 用待定系数法求特解248

4.5 用常数变易法解二阶线性方程251

4.6 欧拉方程253

4.7 应用举例254

习题11.4(b)259

11.5 微分方程的幂级数解法举例262

习题11.5264

11.6 常系数线性微分方程组解法举例265

习题11.6268

附录 高等数学的理论、方法与习题再讨论270

多元函数微分学270

5.1 理论与方法讨论270

1 本书多元微分学有什么特点？270

2 二重极限的等价定义270

3 求二重极限时，能否用极坐标变换求？271

4 判定二重极限不存在有哪些方法？272

5 多元函数的一阶全微分形式的不变性有什么作用？272

7 求由方程组确定的隐函数的导数时，要注意什么？273

8 函数组的雅可比行列式与其反函数的雅可比行列有何关系？273

6 设z=f(u，v)，u=u(x，y)，v=v(x，y).求偏导数？(u，v)时应注意什么？273

9 二元可微函数在区域上的唯一极值是否是最值？275

10 如何求解条件极值问题？275

5.2 习题选解与补充举例276

6 多元函数积分学285

理论与方法讨论285

1.本书关于多元函数积分学有什么特点？285

2.函数的奇偶性与区域的中心对称性的简化积分公式285

3.怎样交换累次积分的次序？286

4.用柱坐标与球坐标计算三重积分通常有哪些较实用的方法？287

5.关于第二型曲面积分的简化公式问题287

答案289