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有理数的概念1

绝对值1

实数1

一、有理数1

有理数的运算2

近似数及有效数字3

无理数的概念5

二、无理数5

刘徽7

四、相关知识链接7

三、实数的概念7

实数7

程大位8

中国是最早使用负数的国家9

中国数学史10

无理数的由来10

代数式的概念17

一、代数式17

代数式及其运算17

多项式18

单项式18

加减运算19

二、整式的加减乘除19

代数式的运算19

除法运算20

乘法运算20

因式分解的方法21

因式分解的概念21

三、因式分解21

分式的概念及性质22

四、分式22

杨辉23

五、相关知识链接23

分式的运算23

陈景润24

中国数学奥林匹克25

歌德巴赫猜想25

巴比伦数学26

解方程28

方程的概念28

方程28

一、一元一次方程28

二元一次方程组的解法29

二元一次方程组的概念29

方程同解原理29

二、二元一次方程组29

三元一次方程组30

多元方程30

配方法解一元二次方程31

因式分解法解一元二次方程31

三、一元二次方程31

一元二次方程的概念31

一元二次方程根与系数的关系32

公式法解一元二次方程32

分式方程的解法33

分式方程的概念33

代数基本定理33

四、分式方程33

验根34

代数方程34

五、代数方程34

二元二次方程组35

二元二次方程35

超越方程35

六、二元二次方程组35

二元二次方程组的解法36

二元线性方程组的行列式解法37

二阶行列式37

七、行列式37

三阶行列式38

代数余子式39

三阶行列式的性质39

三元线性方程组的行列式解法40

关于代数41

八、相关知识链接41

三元齐次线性方程组41

关于中国古代的一次方程组42

阿贝尔44

中国古代的一个一元二次方程44

韦达45

丢番图46

华罗庚46

角47

直线的基本性质47

平面几何知识47

一、基本概念47

几何学47

垂线48

对顶角48

角的平分线48

三角形的分类49

多边形的内角和定理49

点到直线的距离49

等腰三角形49

二、三角形49

多边形49

勾股定理50

三角形的性质50

三角形的角平分线、高线、中线52

三角形的垂心、重心、内心、外心、旁心53

等腰三角形的性质54

全等三角形的判定54

全等三角形54

轴对称的性质55

轴对称55

线段的垂直平分线55

平行线的性质56

平行公理56

三、平行线56

同位角、内错角、同旁内角56

平行线56

两平行线的公垂线56

平行四边形的判定及性质57

四、平行四边形57

平行线的判定方法57

中心对称图形58

正方形的判定及性质58

矩形的判定及性质58

菱形的判定及性质58

直角梯形59

等腰梯形59

五、梯形59

梯形59

平行线分线段成比例定理60

四边形的分类60

比例的性质61

成比例线段61

平行线等分线段定理61

六、相似形61

相似三角形的判定62

相似三角形62

黄金分割62

圆的基本概念63

七、圆63

相似三角形的性质63

点的轨迹64

圆的相关性质64

多边形的外接圆65

弓形的面积公式65

圆周长公式65

弧长公式65

圆的面积公式65

扇形的面积公式65

正多边形的外接圆和内切圆66

多边形的内切圆66

两圆的位置关系67

圆的切线的判定和性质67

直线和圆的位置关系67

切线长定理68

两圆的公切线68

卜拉美古塔定理69

垂径定理69

弦切角定理69

相交弦定理69

切割线定理69

中国古代有关三角的一些研究70

八、相关知识链接70

托勒密定理70

梅涅劳定理70

塞瓦定理70

西摩松线70

关于圆周率π71

徐光启73

祖冲之74

欧几里得74

泰勒斯75

希尔伯特76

十六、十七世纪数学77

集合80

一、集合与集合的运算80

集合与简易逻辑80

集合的分类81

集合的表示方法81

集合与集合的关系82

有限集合的子集个数公式83

集合的运算性质83

逻辑联结词84

命题84

二、逻辑联结词与四种命题84

复合命题的真值表85

四种命题86

开语句86

反证法87

逻辑等价87

四种命题的关系87

充分条件与必要条件88

三、充要条件88

罗素悖论89

康托89

四、相关知识链接89

十九世纪数学90

对应95

一、函数95

函数95

映射96

函数97

常量与变量97

一一映射97

逆映射97

函数的图象98

平面直角坐标系98

一元函数99

常函数99

同一函数99

区间99

反比例函数100

正比例函数100

二元函数100

多元函数100

二次函数101

一次函数101

函数的表示方法102

分段函数102

单调区间103

函数的单调性103

增函数103

减函数103

偶函数104

复合函数的单调性104

复合函数104

反函数的性质105

反函数105

奇函数105

函数图象的作法106

根式107

二、指数与指数函数107

指数的运算性质108

指数108

指数函数的图象及性质109

指数函数109

对数的基本性质110

自然对数110

三、对数与对数函数110

对数110

常用对数110

对数函数的图象和性质111

对数函数111

对数的运算性质111

对数的换底公式111

指数、对数方程112

笛卡尔113

陈建功113

四、相关知识链接113

传染病传播114

数列116

一、数列116

数列116

数列的表示方法117

数列的通项公式117

数列的分类118

等差数列的概念119

二、等差数列119

递推公式119

数列的前n项和119

等差中项120

等差数列的求和120

等差数列的通项公式120

等差数列的性质121

等比数列的求和122

等比数列的增减性122

三、等比数列122

等比数列的概念122

等比数列的通项公式122

等比数列的性质123

等比中项123

常用数列求和方法124

等差数列、等比数列的判定方法124

斐波那契125

四、相关知识链接125

老鼠的繁殖问题126

植树造林绿化环境问题127

用优惠券购书128

分期付款问题130

弧度制132

任意角的概念132

三角函数132

一、任意角的三角函数132

任意角的三角函数133

弧长公式133

三角函数线134

正弦、余弦、正切的诱导公式135

同角三角函数的关系式135

三角函数值的符号135

两角和与差的正弦、余弦、正切137

二、两角和与差的三角函数137

和差化积、积化和差公式138

二倍角、半角的正弦、余弦、正切138

三角函数的图象139

三、三角函数的图象和性质139

三角函数的周期141

周期函数141

正弦函数、余弦函数的性质142

正切函数、余切函数的性质143

函数y=Asin（ωx+？）的图象和性质144

戴煦145

明安图145

四、相关知识链接145

中国发展数学的重要计划146

零向量148

向量的模148

平面向量148

一、向量及其运算148

向量148

向量的加法149

相反向量149

单位向量149

自由向量149

平行向量149

相等向量149

向量的减法150

实数与向量的积151

平面向量的数量积152

两点间的距离公式153

平面向量的垂直153

平面向量基本定理153

平面向量的平行153

线段的定比分点154

平移155

正弦定理156

解斜三角形156

二、解三角形156

解直角三角形156

三角形的面积公式157

余弦定理157

人造地球卫星的运行问题158

三、相关知识链接158

通讯网络159

一元一次不等式组161

一元一次不等式161

不等式161

一、不等式及其性质161

不等式161

不等式的性质162

无理不等式162

一元二次不等式162

一元二次不等式组162

绝对值不等式162

分式不等式162

算术平均数与几何平均数163

二、不等式的证明163

常用基本不等式164

不等式的证明方法165

绝对值不等式的性质165

柯西不等式165

不等式的同解原理166

三、不等式的解法166

一元二次不等式的解法167

一元一次不等式的解法167

分式不等式的解法168

简单的高次不等式的解法168

含绝对值的不等式的解法169

无理不等式的解法169

柯西170

四、相关知识链接170

人口与耕地问题171

库存172

蔬菜运输方式的选择173

直线的斜率177

直线的倾斜角177

直线和圆的方程177

一、直线的方程177

直线方程的形式178

直线的方程178

直线的方向向量178

两条直线位置关系的判定方法180

垂直180

法向量180

二、两条直线的位置关系180

平行180

两直线的夹角181

点到直线的距离182

直线系182

两直线的交点182

二元一次不等式表示的平面区域183

三、简单的线性规划183

线性规划184

曲线和方程185

四、圆185

求曲线的方程186

圆的标准方程187

解析几何187

曲线的交点187

确定圆的方程的方法188

直线和圆的位置关系189

普通方程189

参数方程189

圆的参数方程189

圆的切线方程的求法190

两圆的位置关系190

圆的弦长的求法191

数学发展简史192

五、相关知识链接192

圆系方程192

台风预报200

椭圆的定义201

一、椭圆201

圆锥曲线方程201

椭圆的参数方程202

椭圆的标准方程及几何性质202

椭圆的通径203

椭圆的焦点弦203

椭圆的焦半径203

椭圆的焦准距203

双曲线的定义204

二、双曲线204

双曲线的标准方程及几何性质205

双曲线的渐近线的特征与求法206

双曲线的通径206

双曲线的焦半径206

抛物线的定义207

三、抛物线207

双曲线系207

共轭双曲线207

抛物线的焦点弦208

抛物线的焦半径208

抛物线的标准方程及几何性质208

直线与圆锥曲线的位置关系209

圆锥曲线的统一定义209

四、圆锥曲线209

秦九韶210

五、相关知识链接210

李善兰211

预测水位上涨212

生态平衡问题212

平面215

空间多边形215

直线平面简单几何体215

一、空间的直线和平面215

几何215

空间图形215

立体几何215

平面的基本性质216

空间图形在平面内的表示方法218

等角定理219

空间的直线219

异面直线所成的角220

异面直线220

空间图形的平移220

空间的直线和平面平行221

空间直线和平面的位置关系221

直线与平面垂直222

空间的平面与平面平行222

三垂线定理的逆定理223

三垂线定理223

空间向量224

二、空间向量224

平面与平面垂直224

共线向量225

平行六面体225

相等的空间向量225

空间向量的运算225

基向量226

基底226

空间直线的向量参数表示式226

共面向量226

向量的数量积227

向量的垂直227

空间向量基本定理227

向量的长度227

空间直角坐标系228

单位正交基底228

向量的正射影228

用向量解几何题的一般方法228

向量的直角坐标运算229

点在空间直角坐标系中的坐标229

右手直角坐标系229

向量a的坐标229

空间两点间的距离公式230

向量的夹角公式230

法向量230

平面的斜线与平面所成的角231

三、夹角和距离231

直二面角232

二面角的平面角232

二面角232

直线到平面的距离233

点到直线的距离233

图形与图形的距离233

点与点间的距离233

点到平面的距离233

多面体234

四、简单多面体与球234

两平行平面的距离234

异面直线的距离234

棱柱235

凸多面体235

正方体236

长方体236

棱柱的性质236

棱锥的性质237

棱锥237

棱台238

祖暅原理238

正棱台239

正多面体240

欧拉定理241

简单多面体241

正多面体的性质的应用241

球的表面积公式242

球的体积公式242

拓扑学242

球面242

球体242

大圆、小圆242

球的性质242

祖暅243

五、相关知识链接243

球面距离243

欧氏几何与非欧几何244

阿基米德244

罐头盒的设计问题248

测量降雨量248

排列数250

排列250

排列、组合和二项式定理250

一、排列与组合250

分类计数原理与分步计数原理250

组合数251

组合251

全排列251

阶乘251

二项式定理252

二、二项式定理252

相异元素可以重复的排列数公式252

二项式系数的性质253

二项展开式的性质253

欧拉254

汪莱254

三、相关知识链接254

阿拉伯数学256

足球甲A联赛256

随机现象259

确定性现象259

概率与统计259

一、概率259

概率论259

事件A的概率260

频率260

必然事件260

不可能事件260

随机事件260

等可能事件的概率261

基本事件261

互斥事件有一个发生的概率262

互斥事件262

对立事件的概率263

对立事件263

独立重复试验的概率264

独立重复试验264

相互独立事件264

相互独立事件同时发生的概率264

随机变量265

二、随机变量265

概率的和与积的互补公式265

大数定律265

离散型随机变量的分布列266

连续型随机变量266

离散型随机变量266

期望267

二项分布267

随机变量的方差268

一组数据的方差268

统计学269

三、统计269

极差269

标准差269

方差与标准差的性质269

平均数270

抽样270

总体、个体和样本270

众数271

加权平均数271

总体平均数271

变异系数272

平均差272

中位数272

随机数表法273

抽签法273

简单随机抽样273

分层抽样274

系统抽样274

总体分布的估计275

不放回抽样275

简单随机抽样、系统抽样与分层抽样的区别与联系275

放回抽样275

频率分布条形图276

频率分布表276

频率分布直方图277

累积频率277

组距277

总体密度曲线279

总体分布279

累积频率分布图279

正态曲线280

正态分布280

标准正态曲线281

标准正态总体281

线性回归282

一般正态总体与标准正态总体的转化282

回归直线方程283

样本相关系数284

费马285

泊松285

四、相关知识链接285

“彩票”的中奖率286

掷骰子游戏286

数学归纳法288

特殊命题和一般命题288

极限288

一、数学归纳法288

杨辉三角289

完全归纳法289

不完全归纳法289

数列极限的四则运算290

数列极限的性质290

二、极限290

数列的极限290

函数的极限291

函数的极限的性质292

函数的右极限292

函数的单侧极限292

函数的左极限292

两个重要的极限293

函数极限的四则运算293

最大值最小值定理294

函数的连续性294

戴德金295

三、相关知识链接295

间断点295

达朗贝尔296

求和的困惑297

求函数导数的方法298

导数的概念298

导数与微分298

一、导数298

导数的几何意义299

导函数299

函数的和、差、积、商的导数300

几种常见函数的导数300

二阶导数301

对数求导法301

反函数的导数301

复合函数的导数302

导数的莱布尼兹符号302

三阶导数302

n阶导数302

高阶导数302

判断函数的单调性303

二、导数的应用303

对数函数与指数函数的导数303

求函数的最大值与最小值304

求函数的极值304

判定曲线凹性的方法305

曲线拐点的求法306

拐点306

微分307

三、微分307

渐近线307

原函数307

复合函数的微分308

中值定理309

洛必达法则310

牛顿311

四、相关知识链接311

帕斯卡312

莱布尼茨312

十八世纪数学313

复数316

虚数单位316

复数316

一、复数的概念316

复数的除法317

复数的乘法317

两个复数相等317

共轭复数317

复数集317

二、复数的代数运算317

复数的加法与减法317

复平面318

三、复数的向量表示318

复数的开方318

复数加法的几何意义319

复数的模319

复数的运算性质320

复数减法的几何意义320

复数的指数形式321

棣美佛定理321

四、复数的三角形式321

复数的幅角321

复数的三角形式321

18个21世纪的重大数学问题322

五、相关知识链接322

国际数学奥林匹克324

用配方法求函数的值域326

一、基本解题方法326

解题方法与技巧326

用配方法解决平面几何问题327

用配方法求函数的最大值、最小值327

用待定系数法求曲线的方程问题328

用待定系数法解决方程的曲线问题328

用两点间的距离解决最小值问题328

用构造法解决二项式系数问题329

用构造法解决函数问题329

用构造法解决不等式问题330

用构造法解决平面几何问题330

用列举法解决与自然数有关的问题331

用列举法解决集合问题331

用列举法解决排列、组合问题332

用列举法解决计数问题332

用递推法解决比较大小问题333

用递推法解决数列的通项问题333

用递推法求极限334

用递推法解决平面几何问题335

用综合法解决三角形问题336

用综合法解决计数问题336

用综合法解决复数问题337

用综合法解决解析几何问题338

用分析法解决向量问题339

用分析法解决不等式的证明问题339

用分析法比较大小340

用比较法证明不等式341

用反证法证明否定性命题342

用反证法证明不等问题343

用反证法证明唯一性命题343

用反证法证明“至多”、“至少”的问题344

用放缩法证明不等式345

因概念分段定义引起的分类讨论346

二、分类讨论346

因公式分段表达引起的分类讨论347

因所实施的运算引起的分类讨论349

因图形位置不确定引起的分类讨论350

因图形的形状不同引起的分类讨论351

因字母系数参与引起的分类讨论352

因条件不唯一引起的分类讨论353

三、避免分类讨论的策略354

实数绝对值的平方355

变量分离法355

换元法356

集合中的数形结合357

四、数形结合357

方程与函数的转化357

命题中的数形结合358

函数中的数形结合359

不等式中的数形结合360

方程中的数形结合360

数列中的数形结合361

用数形结合解决角的问题362

平面上的曲线问题用方程解决363

五、转化364

空间图形与平面图形的转化365

换元转化365

变量间的转化365

三棱锥的体积计算中转换顶点366

把几何体分割后求体积367

通过作截面进行等积转化367

同解转化368

整体转化369

利用公式的变形进行转化369

超越方程的转化370

利用等积转化求点到平面的距离370

无限与有限的转化371

命题的转化371

用常量与变量的相对性解决问题372

六、函数方法372

用变量的范围决定结果374

用极限法求函数定义域375

用公式法求函数解析式376

用代换法求函数解析式377

用直接法求函数解析式378

用归纳法求函数解析式378

多元等式转化为一元方程379

七、方程的方法379

将解析式赋值转化为方程380

用数学归纳法证明数列的通项问题381

八、数学归纳法381

用数学归纳法证明整除问题382

用数学归纳法证明不等式382

用数学归纳法证明存在性问题383

由平行四边形的性质推平行六面体的性质384

九、类比推理384

由正三角形的性质推正四面体的性质385

附录一　数学大事年表386

费尔兹奖402

附录二　国际国内数学大奖402

沃尔夫数学奖405

阿贝尔奖408

内万林纳奖409

华罗庚数学奖410

附录三　本书所用符号411