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第1章 函数与极限1

1.1　函数1

1.1.1　数集与邻域1

1.1.2　函数的概念2

1.1.3　函数的表示法4

1.1.4　函数的特性5

1.1.5　初等函数7

1.1.6　双曲函数与反双曲函数8

习题1.110

1.2　数列的极限12

1.2.1　数列的概念12

1.2.2　极限思想概述13

1.2.3　数列极限的定义14

1.2.4　数列极限的性质16

习题1.217

1.3 函数的极限18

1.3.1 函数极限的定义18

1.3.2　函数极限的性质21

习题1.323

1.4　无穷小与无穷大23

1.4.1　无穷小与无穷大的定义24

1.4.2　无穷小与无穷大的关系25

1.4.3　无穷小与函数极限的关系26

1.4.4　无穷小的性质26

习题1.427

1.5　极限运算法则28

1.5.1　极限的四则运算法则28

1.5.2　复合函数的极限运算法则32

习题1.533

1.6　极限存在准则　两个重要极限35

1.6.1　极限存在准则35

1.6.2　两个重要极限37

习题1.640

1.7　无穷小的比较41

习题1.744

1.8　函数的连续性和间断点44

1.8.1　函数连续的概念44

1.8.2　连续函数的运算性质46

1.8.3　初等函数的连续性47

1.8.4　函数的间断点及其分类48

习题1.850

1.9 闭区间上连续函数的性质51

习题1.953

总习题153

第2章　导数与微分57

2.1　导数的概念57

2.1.1 引例57

2.1.2　导数的定义58

2.1.3　按定义求导数举例60

2.1.4　导数的几何意义61

2.1.5　可导与连续的关系62

习题2.163

2.2　基本导数公式与函数的求导法则64

2.2.1　函数的和、差、积、商的求导法则64

2.2.2　反函数的求导法则66

2.2.3　基本导数公式67

2.2.4　复合函数的求导法则68

2.2.5　分段函数的求导法70

习题2.271

2.3 高阶导数73

2.3.1　高阶导数的概念73

2.3.2　高阶导数的求法74

习题2.376

2.4　隐函数及由参数方程所确定的函数的导数　相关变化率76

2.4.1　隐函数的求导方法76

2.4.2　幂指函数及“乘积型”复杂函数的求导方法78

2.4.3 由参数方程所确定的函数的求导法则79

2.4.4　相关变化率80

习题2.481

2.5　函数的微分82

2.5.1　微分的定义82

2.5.2　可导与可微的关系83

2.5.3　微分的几何意义84

2.5.4　基本微分公式与微分的运算法则85

2.5.5　微分在近似计算中的应用86

习题2.588

总习题290

第3章　微分中值定理及导数的应用93

3.1　微分中值定理93

3.1.1 罗尔定理93

3.1.2　拉格朗日中值定理95

3.1.3　柯西中值定理97

习题3.199

3.2　罗必达法则100

3.2.1　0/0型及∞/∞型未定式100

3.2.2　其他类型未定式104

习题3.2105

3.3　泰勒公式与马克劳林公式106

3.3.1　泰勒公式106

3.3.2　几个函数的马克劳林公式109

习题3.3111

3.4　函数的单调性和极值111

3.4.1　函数的单调性判定111

3.4.2　函数的极值及其求法114

3.4.3　最大值、最小值118

习题3.4120

3.5 曲线的凹凸性与拐点122

习题3.5125

3.6　函数图形的描绘125

3.6.1　曲线的渐近线126

3.6.2　函数图形的描绘126

习题3.6129

3.7　曲率129

3.7.1　弧微分129

3.7.2　曲率的定义及计算130

3.7.3 曲率圆与曲率中心133

3.7.4　曲率中心的计算　渐屈线与渐伸线134

习题3.7135

3.8　方程的近似解136

3.8.1　二分法137

3.8.2　牛顿切线法138

习题3.8140

总习题3141

第4章　不定积分143

4.1　不定积分的概念与性质143

4.1.1　原函数与不定积分的概念143

4.1.2　不定积分的性质146

4.1.3　基本积分公式146

习题4.1149

4.2　换元积分法150

4.2.1　第一类换元法150

4.2.2　第二类换元法157

习题4.2163

4.3　分部积分法165

习题4.3168

4.4　有理函数与三角有理式的积分169

4.4.1　有理函数的积分169

4.4.2　三角有理式的积分174

习题4.4175

总习题4176

第5章　定积分179

5.1　定积分的概念与性质179

5.1.1　定积分问题举例179

5.1.2　定积分的定义181

5.1.3　定积分的几何意义183

5.1.4　定积分的近似计算185

5.1.5　定积分的性质187

习题5.1191

5.2　微积分基本公式193

5.2.1 变速直线运动中位置函数与速度函数之间的联系193

5.2.2　积分上限的函数及其导数194

5.2.3　牛顿-莱布尼茨公式195

习题5.2200

5.3　定积分的换元法和分部积分法202

5.3.1　定积分的换元法202

5.3.2　定积分的分部积分法209

习题5.3210

5.4　反常积分213

5.4.1　无穷限的反常积分213

5.4.2　无界函数的反常积分216

5.4.3　Γ函数219

习题5.4221

总习题5222

第6章　定积分的应用227

6.1　定积分的微元法227

6.2　定积分在几何学上的应用229

6.2.1　平面图形的面积229

6.2.2　体积233

6.2.3　平面曲线的弧长239

习题6.2242

6.3　定积分在物理学上的应用243

6.3.1　变力沿直线所做的功243

6.3.2　液体的压力246

6.3.3 引力248

习题6.3249

总习题6250

第7章　微分方程253

7.1　微分方程的基本概念253

7.1.1　两个实例253

7.1.2　微分方程的基本概念254

习题7.1256

7.2　一阶微分方程257

7.2.1 可分离变量的微分方程及齐次方程257

7.2.2　一阶线性微分方程及伯努利方程262

习题7.2268

7.3　可降阶的高阶微分方程270

7.3.1 y（n）=f（x）型的微分方程270

7.3.2 y″=f（x,y′）型的微分方程270

7.3.3　y″=f（y,y′）型的微分方程272

习题7.3274

7.4　高阶线性微分方程274

7.4.1 高阶线性微分方程及其解的结构274

7.4.2 二阶常系数线性齐次微分方程277

7.4.3　二阶常系数线性非齐次微分方程281

习题7.4287

7.5　欧拉方程288

习题7.5290

7.6　常系数线性微分方程组的解法290

习题7.6292

7.7　微分方程的应用292

习题7.7296

总习题7297

附录300

附录A　几种常见的曲线300

附录B　积分表303

部分习题答案与提示312

参考文献343