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上篇 前置知识1

第1章 初值问题和边值问题1

1.1 初值问题1

1.1.1 欧拉法2

1.1.2 局部截断误差3

1.1.3 改进的欧拉法4

1.1.4 龙格-库塔法6

1.1.5 ode系列函数的用法9

1.1.6 高阶微分方程的降阶15

1.2 边值问题17

1.2.1 打靶法18

1.2.2 bvp系列函数的用法22

第2章 有限差分法和有限元法25

2.1 有限差分法25

2.1.1 有限差分法中的数值微分25

2.1.2 求导的矩阵形式26

2.2 偏微分方程的差分解法30

2.2.1 二维泊松方程30

2.2.2 一维热传导方程34

2.2.3 一维波动方程37

2.3 有限元法和Matlab偏微分工具箱40

2.3.1 基本操作41

2.3.2 二维泊松方程48

2.3.3 二维热传导方程52

2.3.4 二维波动方程53

2.3.5 二维特征值问题54

中篇 周期性边界条件下的谱方法57

第3章 傅里叶谱方法57

3.1 傅里叶谱方法的原理57

3.1.1 快速傅里叶变换57

3.1.2 求导、积分与傅里叶谱方法61

3.1.3 傅里叶谱方法的步骤63

3.1.4 滤波法66

3.2 傅里叶谱方法求解基本偏微分方程（组）67

3.2.1 一维波动方程67

3.2.2 二维波动方程69

3.2.3 一维非线性薛定谔方程71

3.3 傅里叶谱方法求解复杂偏微分方程（组）73

3.3.1 一维KdV方程73

3.3.2 二维浅水方程组74

3.3.3 二维粘性Burgers方程76

3.3.4 二维Schnakenberg模型78

第4章 谱求导矩阵81

4.1 谱求导矩阵的导出和应用81

4.1.1 谱方法插值81

4.1.2 谱求导矩阵82

4.1.3 用谱求导矩阵求解偏微分方程的步骤88

4.2 利用谱求导矩阵求解基本偏微分方程（组）92

4.2.1 一维线性谐振子的定态薛定谔方程92

4.2.2 二维线性谐振子的定态薛定谔方程94

4.2.3 一维波动方程96

4.2.4 二维波动方程98

4.3 利用谱求导矩阵求解复杂偏微分方程（组）100

4.3.1 Ginzburg-Landau方程100

4.3.2 耦合非线性薛定谔方程组102

4.3.3 二维Schnakenberg模型103

4.3.4 二维平流-扩散方程105

下篇 第一类、第二类和第三类边界条件下的谱方法108

第5章 切比雪夫谱方法108

5.1 切比雪夫求导矩阵的导出108

5.1.1 吉布斯现象和龙格现象108

5.1.2 切比雪夫求导矩阵112

5.2 狄利克莱边界条件（第一类边界条件）119

5.2.1 一维泊松方程119

5.2.2 二维泊松方程122

5.2.3 Allen-Cahn方程128

5.2.4 二维热传导方程131

5.2.5 一维特征值问题135

5.2.6 二维特征值问题137

5.3 诺依曼边界条件（第二类边界条件）138

5.3.1 一维泊松方程139

5.3.2 二维泊松方程140

5.3.3 一维热传导方程143

5.3.4 二维波动方程146

5.3.5 一维四阶问题148

5.3.6 二维四阶问题150

5.4 洛平边界条件（第三类边界条件）152

5.4.1 一维泊松方程152

5.4.2 二维泊松方程154

5.4.3 一维热传导方程156

5.4.4 二维热传导方程158

5.5 利用切比雪夫谱方法求解复杂偏微分方程（组）161

5.5.1 广义特征值问题161

5.5.2 二维Barkley模型162

5.5.3 二维平流-扩散方程165

附录168

附录A Matlab主要符号和函数168

A.1 运算符、操作符和常量168

A.2 矩阵、图形窗口相关函数170

附录B 将计算结果制作成gif动画177

参考文献179

跋180