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第0章 预备知识1

0.1 Lebesgue积分基础1

0.2 直线群上的卷积6

0.3 其它的函数类与序列9

0.4 周期函数及其卷积13

0.5 直线群上的囿变函数16

0.6 类BV2?21

0.7 赋范线性空间，有界线性算子24

0.8 有界线性泛函，Riesz表现定理32

0.9 参考文献38

第一篇 用奇异积分逼近44

第一章 周期函数的奇异积分44

1.0 引言44

1.1 依范数的收敛性与导数45

1.1.1 依范数的收敛性45

1.1.2 导数49

1.2 Fourier级数求和法58

1.2.1 定义58

1.2.2 Dirichlet核与Fejér核62

1.2.3 Weierstrass逼近定理64

1.2.4 Fourier级数的可和性66

1.2.5 行有限θ因子69

1.2.6 共轭级数的可和性70

1.2.7 Fourior-Stieltjes级数72

1.3 关于依范数收敛的检验集80

1.3.1 某些卷积算子的范数81

1.3.2 Banach-Steinhaus定理的某些应用83

1.3.3 正核86

1.4 逐点收敛性92

1.5 正奇异积分的逼近阶101

1.5.1 连续模与Lipschitz类101

1.5.2 正逼近定理104

1.5.3 检验函数法106

1.5.4 渐近性质109

1.6 进一步的正逼近定理，Nikolskiǐ常数119

1.6.1 Fejér-Korovkin奇异积分119

1.6.2 进一步的正逼近定理121

1.6.3 Nikolskil常数123

1.7 简单逆逼近定理130

1.8 注释与附注134

第二章 最佳逼近多项式及奇异积分的Jackson定理与Bernstein定理141

2.0 引言141

2.1 最佳逼近多项式142

2.2 Jackson定理144

2.3 Bernstein定理147

2.4 各种应用154

2.5 奇异积分的逼近定理161

2.5.1 Abel-Poisson奇异积分161

2.5.2 de La Vallée Poussin奇异积分166

2.6 注释与附注171

第三章 直线群上的奇异积分176

3.0 引言176

3.1 依范数的收敛性177

3.1.1 定义与基本性质177

3.1.2 Fejér奇异积分179

3.1.3 Gauss-Weierstrass奇异积分184

3.1.4 Cauchy-Poisson奇异积分185

3.2 逐点收敛性193

3.3 逼近的阶200

3.4 进一步的正逼近定理208

3.5 逆逼近定理214

3.6 保形性质220

3.6.1 Gauss-Weierstrass奇异积分220

3.6.2 变号减少核225

3.7 注释与附注230

第二篇 Fourier变换241

第四章 有限Fourier变换241

4.0 引言241

4.1 L？n理论241

4.1.1 基本性质241

4.1.2 反演理论246

4.1.3 导数的Fourier变换247

4.2 Lp2x理论，p>1251

4.2.1 p=2的情形251

4.2.2 p≠2的情形254

4.3 有限Fourier-Stieltjes变换257

4.3.1 基本性质257

4.3.2 反演理论262

4.3.3 导数的Fourier-Stieltjes变换263

4.4 注释与附注266

第五章 直线群上的Fourier变换269

5.0 引言269

5.1 L1理论269

5.1.1 基本性质269

5.1.2 反演理论271

5.1.3 导数的Fourier变换276

5.1.4 Fourier变式的导数，正函数的矩，Peano导数与Riomann导数280

5.1.5 Poisson求和公式287

5.2 Lp理论，1<p≤2296

5.2.1 p=2的情形296

5.2.2 1<p<2的情形298

5.2.3 基本性质301

5.2.4 Fourier反演积分的求和法303

5.2.5 导数的Fourier变换305

5.2.6 Plancherel定理307

5.3 Fourier-Stieltjes变换311

5.3.1 基本性质311

5.3.2 反演理论315

5.3.3 导数的Fourier-Stioltjes变换318

5.4 注释与附注322

第六章 表现定理328

6.0 引言328

6.1 充要条件330

6.1.1 序列表现为有限Fourier或Fourier-Stieltjes变式330

6.1.2 函数表现为Fourier或Fourier-Stieltjes变式333

6.2 Bochner定理342

6.3 充分条件351

6.3.1 拟凸性351

6.3.2 表现为L？变式355

6.3.3 表现为L1变式358

6.3.4 还原定理361

6.4 对奇异积分的应用368

6.4.1 一般Weierstrass奇异积分368

6.4.2 典型平均374

6.5 乘子381

6.5.1 周期函数类的乘子382

6.5.2 Lp上的乘子385

6.6 注释与附注395

第七章 Fourier变换法与二阶偏微分方程401

7.0 引言401

7.1 有限Fourier变换法404

7.1.1 热传导问题的解404

7.1.2 单位圆盘的Dirichlet问题与Nenmann问题409

7.1.3 弦振动问题413

7.2 L1中的Fourier变换法423

7.2.1 在无限长杆上的扩散423

7.2.2 关于半平面的Dirichlet问题427

7.2.3 无限弦的运动429

7.3 注释与附注432

符号表435

Fourier变换表444

索引449