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第1章 函数与极限1

1.1函数1

1.1.1集合1

1.1.2映射2

1.1.3函数4

习题1.111

1.2数列的极限12

1.2.1数列12

1.2.2数列的极限13

1.2.3收敛数列的性质15

习题1.216

1.3函数的极限17

1.3.1自变量趋于无穷大时函数的极限17

1.3.2自变量趋于有限值时函数的极限18

1.3.3函数极限的性质20

习题1.321

1.4无穷小与无穷大22

1.4.1无穷小22

1.4.2无穷大23

习题1.425

1.5极限的运算法则25

1.5.1极限的四则运算法则25

1.5.2复合函数的极限运算法则28

习题1.528

1.6极限存在准则 两个重要极限28

1.6.1夹逼准则29

1.6.2单调有界收敛准则30

习题1.632

1.7无穷小的比较32

习题1.734

1.8函数的连续性与间断点34

1.8.1函数的连续性34

1.8.2函数的间断点及分类35

习题1.837

1.9连续函数的运算与初等函数的连续性37

1.9.1连续函数的和、差、积及商的连续性37

1.9.2反函数与复合函数的连续性37

1.9.3初等函数的连续性39

习题1.940

1.10闭区间上连续函数的性质40

习题1.1042

第1章自测题42

第2章 导数与微分45

2.1导数概念45

2.1.1问题的提出45

2.1.2导数的定义46

2.1.3求导数举例47

2.1.4导数的几何意义49

2.1.5函数的可导性与连续性的关系49

习题2.150

2.2函数的求导法则50

2.2.1导数的四则运算法则51

2.2.2反函数的求导法则52

2.2.3复合函数的求导法则53

2.2.4初等函数的求导问题55

习题2.257

2.3高阶导数58

2.3.1高阶导数的定义58

2.3.2高阶导数的运算法则60

习题2.361

2.4隐函数的导数 由参数方程所确定的函数的导数61

2.4.1隐函数的导数61

2.4.2由参数方程所确定的函数的导数64

习题2.465

2.5函数的微分65

2.5.1微分的概念65

2.5.2基本初等函数的微分公式与微分运算法则68

2.5.3微分在近似计算中的应用70

习题2.571

第2章自测题71

第3章 微分中值定理73

3.1微分中值定理73

3.1.1罗尔定理73

3.1.2拉格朗日中值定理74

3.1.3柯西中值定理77

习题3.178

3.2洛必达法则78

习题3.282

3.3泰勒公式82

习题3.387

3.4函数的单调性与曲线的凹凸性88

3.4.1函数单调性的判定88

3.4.2曲线的凹凸性与拐点90

习题3.492

3.5函数的极值与最值93

3.5.1函数的极值及其求法93

3.5.2最大值最小值问题96

习题3.598

3.6函数图形的描绘98

习题3.6100

3.7曲率101

3.7.1弧微分101

3.7.2曲率102

3.7.3曲率圆与曲率半径105

习题3.7106

第3章自测题106

第4章 不定积分108

4.1不定积分的概念与性质108

4.1.1原函数与不定积分的概念108

4.1.2基本积分表110

4.1.3不定积分的性质111

习题4.1112

4.2换元积分法113

4.2.1第一类换元积分法113

4.2.2第二类换元积分法117

习题4.2121

4.3分部积分法122

习题4.3125

4.4有理函数的积分125

4.4.1真分式的分解125

4.4.2部分分式的积分128

4.4.3可化为有理函数的积分举例128

习题4.4131

第4章自测题131

第5章 定积分133

5.1定积分概念133

5.1.1定积分问题举例133

5.1.2定积分定义134

5.1.3定积分的性质137

习题5.1138

5.2微积分基本公式139

5.2.1变速直线运动中位置函数与速度函数之间的联系139

5.2.2积分上限函数及其导数139

5.2.3牛顿-莱布尼茨公式140

习题5.2142

5.3定积分的换元法和分部积分法143

5.3.1换元积分法143

5.3.2分部积分法146

习题5.3147

5.4反常积分148

5.4.1无穷限的反常积分148

5.4.2无界函数的反常积分150

习题5.4152

第6章 定积分的应用153

6.1定积分的元素法153

6.2平面图形的面积154

6.2.1直角坐标系下平面图形的面积154

6.2.2极坐标系下平面图形的面积157

习题6.2158

6.3立体的体积158

6.3.1平行截面面积为已知的立体的体积158

6.3.2旋转体的体积160

习题6.3161

6.4平面曲线的弧长162

习题6.4164

6.5定积分在物理中的应用164

6.5.1变力沿直线所做的功164

6.5.2静压力166

6.5.3引力166

6.5.4函数的平均值167

习题6.5167

第5，6章自测题168

第7章 常微分方程170

7.1微分方程的基本概念170

习题7.1172

7.2一阶微分方程173

7.2.1可分离变量的微分方程173

7.2.2齐次方程174

7.2.3一阶线性微分方程176

7.2.4伯努利方程181

习题7.2182

7.3可降阶的高阶微分方程183

7.3.1 y（n）=f（x）型的微分方程183

7.3.2 y″=f（x，y′）型的微分方程184

7.3.3 y″=f（y，y′）型的微分方程185

习题7.3187

7.4二阶线性微分方程解的结构187

7.4.1 y″+P（x）y′+Q（x）y=0解的结构188

7.4.2 y″+P（x）y′十Q（x）y=f（x）解的结构189

习题7.4190

7.5二阶常系数齐次线性微分方程191

习题7.5193

7.6二阶常系数非齐次线性微分方程194

7.6.1 f（x）=eλx（a0 xm+a1 xm-1 +…+am）（a0≠0）的情形194

7.6.2 f（x）=eλx［Pl（x） cosωx+Pn（x） sinωx］（ω≠0）的情形198

习题7.6200

7.7常微分方程的简单应用200

习题7.7206

第7章自测题206

部分习题答案与提示208

附录 几种常用的曲线222