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第1章　线性空间1

第2章　线性映射7

2.1　线性映射生成的代数7

2.2　线性映射的指标10

第3章 Hahn-Banach定理16

3.1　延拓定理16

3.2　Hahn-Banach定理的几何形式17

3.3　Hahn-Banach定理的延拓20

第4章 Hahn-Banach定理的应用24

4.1　正线性泛函的延拓24

4.2　Banach极限25

4.3　有限可加的不变集函数27

第5章　赋范线性空间29

5.1　范数29

5.2　单位球的非紧性34

5.3　等距37

第6章 Hilbert空间42

6.1　内积42

6.2 闭凸集中的最佳逼近点44

6.3　线性泛函45

6.4　线性张47

第7章 Hilbert空间结果的应用51

7.1　Radon-Nikodym定理51

7.2　Dirichlet问题52

第8章　赋范线性空间的对偶59

8.1　有界线性泛函59

8.2　有界线性泛函的延拓60

8.3　自反空间63

8.4　集合的支撑函数67

第9章　对偶性的应用71

9.1　加权幂的完备性71

9.2　Müntz逼近定理72

9.3　Runge定理74

9.4　函数论中的对偶变分问题75

9.5　Green函数的存在性77

第10章　弱收敛81

10.1 弱收敛序列的一致有界性82

10.2　弱序列紧性85

10.3　弱＊收敛86

第11章　弱收敛的应用88

11.1　用连续函数逼近δ函数88

11.2　傅里叶级数的发散性89

11.3　近似求积分90

11.4 向量值函数的弱解析性和强解析性90

11.5　偏微分方程解的存在性91

11.6　具有正实部的解析函数的表示94

第12章　弱拓扑和弱＊拓扑96

第13章 局部凸空间拓扑和Krein-Milman定理100

13.1　通过线性泛函分离点101

13.2　Krein-Milman定理102

13.3　Stone-Weierstrass定理103

13.4　Choquet定理104

第14章 凸集及其极值点的例子109

14.1　正线性泛函109

14.2　凸函数110

14.3　完全单调函数112

14.4　Carathéodory和Bochner定理116

14.5　Krein的一个定理120

14.6　正调和函数121

14.7　Hamburger矩问题122

14.8　G.Birkhoff猜测123

14.9　De Finetti定理127

14.10　保测映射128

第15章　有界线性映射131

15.1　有界性和连续性131

15.2　强拓扑和弱拓扑135

15.3　一致有界原理136

15.4　有界线性映射的复合137

15.5 开映射原理137

第16章　有界线性映射的例子142

16.1　积分算子的有界性142

16.2　Marcel Riesz凸性定理145

16.3　有界积分算子的例子147

16.4　双曲方程的解算子152

16.5　热传导方程的解算子153

16.6　奇异积分算子，拟微分算子和Fourier积分算子156

第17章　Banach代数及其基本谱理论157

17.1　赋范代数157

17.2　函数演算161

第18章　交换Banach代数的Gelfand理论165

第19章　交换Banach代数的Gelfand理论的应用171

19.1　代数C(S)171

19.2　Gelfand紧化171

19.3　绝对收敛的Fourier级数172

19.4 闭单位圆盘上的解析函数173

19.5　开单位圆盘内的解析函数174

19.6　Wiener的陶伯定理175

19.7　交换的B＊代数180

第20章　算子及其谱的例子184

20.1　可逆映射184

20.2　移位186

20.3　Volterra积分算子187

20.4　Fourier变换188

第21章　紧映射189

21.1　紧映射的基本性质189

21.2　紧映射的谱理论193

第22章　紧算子的例子199

22.1　紧性的判别准则199

22.2　积分算子200

22.3　椭圆偏微分算子的逆202

22.4 由抛物型方程定义的算子203

22.5　殆正交基204

第23章　正的紧算子206

23.1　正的紧算子的谱206

23.2　随机积分算子208

23.3　二阶椭圆算子的逆210

第24章　积分方程的Fredholm理论212

24.1　Fredholm行列式和Fredholm预解式212

24.2　Fredholm行列式的乘法性质219

24.3 Gelfand-Levian-Marchenko方程和Dyson的公式221

第25章　不变子空间225

25.1　紧算子的不变子空间225

25.2　不变子空间套227

第26章　射线上的调和分析233

26.1　调和函数的Phragmén-Lindel？f原理233

26.2　抽象Phragmén-Lindel？f原理234

26.3　渐进展开243

第27章　指标理论246

27.1　Noether指标246

27.2 Toeplitz算子250

27.3 Hankel算子256

第28章 Hilbert空间上的紧对称算子259

第29章 紧对称算子的例子266

29.1 卷积266

29.2 一个微分算子的逆268

29.3 偏微分算子的逆269

第30章 迹类和迹公式271

30.1 极分解与奇异值271

30.2 迹类，迹范数，迹272

30.3 迹公式275

30.4 行列式281

30.5　迹类算子的例子和反例282

30.6　Poisson和公式287

30.7　如何将算子的指标表示成迹的差288

30.8　Hilbert-Schmidt类290

30.9　Banach空间上的算子的迹和行列式291

第31章　对称算子、正规算子和酉算子的谱理论293

31.1　对称算子的谱294

31.2　对称算子的函数演算296

31.3　对称算子的谱分解298

31.4　绝对连续谱、奇异谱和点谱300

31.5　对称算子的谱表示301

31.6　正规算子的谱分解305

31.7　酉算子的谱分解306

第32章 自伴算子的谱理论311

32.1　谱分解311

32.2　利用Cayley变换构造谱分解320

32.3 自伴算子的函数演算321

第33章 自伴算子的例子325

33.1　无界对称算子的延拓325

33.2　对称算子延拓的例子，亏指数327

33.3　Friedrichs延拓331

33.4　Rellich扰动定理334

33.5　矩问题337

第34章　算子半群343

34.1　强连续的单参数半群344

34.2　半群的构造349

34.3　半群的逼近352

34.4　半群的扰动356

34.5　半群的谱理论358

第35章　酉算子群363

35.1　Stone定理363

35.2　遍历理论365

35.3　Koopman群367

35.4　波动方程369

35.5　平移表示370

35.6　Heisenberg交换关系376

第36章　强连续算子半群的例子382

36.1 由抛物型方程定义的半群382

36.2 由椭圆型方程定义的半群382

36.3　半群的指数型衰减386

36.4　Lax-Phillips半群390

36.5　障隘外部的波动方程391

第37章　散射理论395

37.1　扰动理论395

37.2　波算子397

37.3　波算子的存在性399

37.4　波算子的不变性406

37.5　位势散射406

37.6　散射算子407

37.7　Lax-Phillips散射理论408

37.8　散射矩阵的零点414

37.9　自守波动方程415

第38章　Beurling定理426

38.1　Hardy空间426

38.2　Beurling定理427

38.3　Titchmarsh卷积定理434

附录A　Riesz-Kakutani表示定理439

A.1　正线性泛函439

A.2　体积442

A.3　函数空间L444

A.4　可测集和测度446

A.5　Lebesgue测度和积分450

附录B　广义函数理论451

B.1　定义和例子451

B.2　广义函数的运算452

B.3　广义函数的局部性质454

B.4　在偏微分方程中的应用460

B.5　Fourier变换464

B.6　Fourier变换的应用472

B.7　Fourier级数473

附录C　Zorn引理475

关键词索引476