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Ⅰ定价与估值1

1随机过程及风险中性定价3

1.1 特征函数3

1.1.1 累积分布函数的特征函数4

1.1.2 随机变量矩的特征函数5

1.1.3 去中心化随机变量的特征函数5

1.1.4 Jensen不等式修正的计算6

1.1.5 对数鞅特征函数的计算6

1.1.6 指数分布7

1.1.7 Gamma分布8

1.1.8 Lévy过程8

1.1.9 标准正态分布8

1.1.10 正态分布9

1.2 资产定价的随机模型10

1.2.1 几何布朗运动——Black-Scholes模型10

1.2.1.1 随机微分方程10

1.2.1.2 Black-Scholes偏微分方程11

1.2.1.3 Log几何布朗运动的特征函数11

1.2.2 局部波动率模型——Derman模型和Kani模型11

1.2.2.1 随机微分方程11

1.2.2.2 广义Black-Scholes公式12

1.2.2.3 特征函数12

1.2.3 随机波动率下的几何布朗运动——Heston模型12

1.2.3.1 Heston随机波动率模型——随机微分方程12

1.2.3.2 Heston模型——Log资产价格的特征函数12

1.2.4 混合模型——随机局部波动率（SLV）模型18

1.2.5 带均值回归的几何布朗运动——Ornstein-Uhlenbeck过程19

1.2.5.1 Ornstein-Uhlenbeck过程——随机微分方程19

1.2.5.2 Vasicek模型20

1.2.6 Cox-Ingersoll-Ross模型21

1.2.6.1 随机微分方程21

1.2.6.2 积分特征函数21

1.2.7 Variance Gamma模型21

1.2.7.1 随机微分方程22

1.2.7.2 特征函数23

1.2.8 CGMY模型24

1.2.8.1 特征函数25

1.2.9 正态逆高斯模型25

1.2.9.1 特征函数25

1.2.10 带随机抵达（VGSA）的Variance Gamma模型25

1.2.10.1 随机微分方程26

1.2.10.2 特征函数26

1.3 不同测度下的衍生品定价27

1.3.1 风险中性测度下的资产定价27

1.3.2 概率测度变换28

1.3.3 远期测度下的资产定价29

1.3.3.1 利率下限/上限定价30

1.3.4 互换测度下的定价31

1.4 衍生品的种类32

习题33

2应用变换技术对衍生品定价35

2.1 应用傅里叶变换对衍生品定价35

2.1.1 看涨期权定价36

2.1.2 看跌期权定价39

2.1.3 积分定价的评估41

2.1.3.1 数值积分41

2.1.3.2 快速傅里叶变换42

2.1.4 快速傅里叶变换的实现43

2.1.5 阻尼因子α43

2.2 分形快速傅里叶变换47

2.2.1 分形快速傅里叶变换的构造50

2.2.2 分形快速傅里叶变换的实现52

2.3 应用Fourier-Cosine（COS）方法对衍生品定价54

2.3.1 COS方法55

2.3.1.1 任意函数的余弦级数展式55

2.3.1.2 用特征函数表示余弦级数的系数56

2.3.1.3 COS期权定价57

2.3.2 不同收益的COS期权定价法57

2.3.2.1 Vanilla期权的COS定价法58

2.3.2.2 数字期权的COS定价法59

2.3.3 COS方法的截断区域59

2.3.4 COS方法的数值计算结果59

2.3.4.1 几何布朗运动（GBM）59

2.3.4.2 Heston随机波动率模型60

2.3.4.3 Variance Gamma（VG）模型61

2.3.4.4 CGMY模型62

2.4 路径相关期权的Cosine定价法63

2.4.1 百慕大期权63

2.4.2 离散障碍期权65

2.4.2.1 数值计算——COS法与蒙特卡罗法65

2.5 鞍点法66

2.5.1 广义Lugannani-Rice近似67

2.5.2 期权定价的尾概率描述68

2.5.3 期权定价的Lugannani-Rice近似70

2.5.4 鞍点近似法的实现71

2.5.5 鞍点法的数值结果73

2.5.5.1 几何布朗运动（GBM）73

2.5.5.2 Heston随机波动率模型73

2.5.5.3 Variance Gamma模型74

2.5.5.4 CGMY模型75

2.6 应用傅里叶变换的平方期权定价76

习题78

3有限差分介绍83

3.1 泰勒展式83

3.2 有限差分法85

3.2.1 显式差分离散化方法87

3.2.1.1 显式差分的算法89

3.2.2 隐式差分离散化方法89

3.2.2.1 隐式差分的算法91

3.2.3 Crank-Nicolson离散化方法92

3.2.3.1 Crank-Nicolson的算法95

3.2.4 多步法96

3.2.4.1 多步法的算法98

3.3 稳定性分析99

3.3.1 显式差分算法的稳定性102

3.3.2 隐式差分算法的稳定性103

3.3.3 Crank-Nicolson算法的稳定性103

3.3.4 多步法算法的稳定性104

3.4 有限差分的导数逼近：广泛逼近104

3.5 矩阵方程的解法106

3.5.1 三对角线矩阵的解法106

3.5.2 五对角线矩阵的解法108

习题110

案例分析113

4应用PDEs数值解的衍生品定价115

4.1 广义Black-Scholes偏微分方程下的期权价格117

4.1.1 显性离散化方法117

4.1.2 隐性离散化方法119

4.1.3 Crank-Nicolson离散化方法120

4.2 边界条件及临界点121

4.2.1 边界条件的实现121

4.2.1.1 Dirichlet边界条件122

4.2.1.2 Neumann边界条件122

4.2.2 确定性跳跃条件的实现125

4.3 非均匀网格点126

4.3.1 坐标变换127

4.3.1.1 坐标变换后的Black-Scholes偏微分方程129

4.4 维度下降法130

4.5 扩散条件下路径依赖的期权定价131

4.5.1 百慕大期权131

4.5.2 美式期权133

4.5.2.1 百慕大式逼近133

4.5.2.2 带合成分红过程的Black-Scholes偏微分方程134

4.5.2.3 Brennan-Schwartz算法135

4.5.3 障碍期权138

4.5.3.1 一次性敲出障碍期权140

4.5.3.2 一次性敲入障碍期权141

4.5.3.3 双重障碍期权141

4.6 正向偏微分方程141

4.6.1 Vanilla看涨期权142

4.6.2 下降敲出看涨期权143

4.6.3 上涨敲出看涨期权143

4.7 高维有限差分法146

4.7.1 Heston随机波动率模型146

4.7.2 Heston偏微分方程下的期权定价148

4.7.2.1 边界条件的实现153

4.7.3 交替方向隐式法（ADI）的算法156

4.7.3.1 Heston偏微分方程Craig-Sneyd算法的导数158

4.7.4 Heston偏微分方程161

4.7.5 数值结果及结论161

习题164

案例分析168

5应用PIDEs数值解的衍生品定价171

5.1 PIDEs的数值解（一个广义示例）171

5.1.1 PIDE的导数172

5.1.2 离散化176

5.1.3 积分项的估计178

5.1.4 微分方程180

5.1.4.1 Neunann边界条件的实现183

5.2 美式期权184

5.2.1 Heaviside项——合成分红过程187

5.2.2 数值实验188

5.3 Lévy过程的PIDE解190

5.4 正向PIDEs191

5.4.1 美式期权191

5.4.2 下降敲出和上涨敲出看涨期权194

5.5 g1和g2的计算198

习题199

案例分析200

6衍生品定价的模拟方法203

6.1 随机数的生成205

6.1.1 标准均匀分布205

6.2 各类分布样本206

6.2.1 逆变换法206

6.2.2 接受-拒绝法208

6.2.2.1 应用接受-拒绝法生成标准正态分布随机数211

6.2.2.2 应用接受-拒绝法生成泊松分布随机数212

6.2.2.3 应用接受-拒绝法生成Gamma分布随机数213

6.2.2.4 应用接受-拒绝法生成Beta分布随机数213

6.2.3 单变量标准正态分布随机数214

6.2.3.1 有理近似214

6.2.3.2 Box-Muller方法216

6.2.3.3 Marsaglia极方法217

6.2.4 多变量正态随机数218

6.2.5 Cholesky分解219

6.2.5.1 有特定相关性的多变量分布模拟220

6.3 依赖模型222

6.3.1 满秩高斯Copula模型222

6.3.2 带高斯分布的Variance Gamma表示222

6.3.3 独立Lévy过程的混合线性模型222

6.4 布朗桥223

6.5 蒙特卡罗积分224

6.5.1 拟-蒙特卡罗方法227

6.5.2 拉丁超立方体抽样法228

6.6 随机微分方程的数值积分228

6.6.1 Euler算法229

6.6.2 Milstein算法230

6.6.3 Runge-Kutta算法230

6.7 不同模型下的SDEs模拟231

6.7.1 几何布朗运动231

6.7.2 Ornstein-Uhlenbeck过程232

6.7.3 CIR过程232

6.7.4 Heston随机波动率模型232

6.7.4.1 完全截断算法233

6.7.5 Variance Gamma过程234

6.7.6 带随机抵达（VGSA）的Variance Gamma过程236

6.8 输出/模拟分析240

6.9 方差缩减技术241

6.9.1 控制变量法241

6.9.2 对偶变量法243

6.9.3 条件蒙特卡罗法244

6.9.3.1 条件蒙特卡罗法的算法245

6.9.4 重要性抽样法247

6.9.4.1 应用重要性抽样进行方差缩减248

6.9.5 分层抽样法249

6.9.5.1 观察与发现251

6.9.5.2 分层抽样法的算法251

6.9.6 一般随机数253

习题254

Ⅱ 校准与估计259

7模型校准261

7.1 校验方法263

7.1.1 一般方法264

7.1.2 加权最小二乘法264

7.1.3 正则化校验法264

7.2 单一资产模型的校准265

7.2.1 Black-Scholes模型265

7.2.2 局部波动率模型266

7.2.2.1 欧式期权的正向偏微分方程267

7.2.2.2 局部波动率面的构造268

7.2.3 不变方差弹性（CEV）模型271

7.2.4 Heston随机波动率模型272

7.2.5 混合模型——随机局部波动率（SLV）模型275

7.2.6 Variance Gamma模型276

6.2.7 CGMY模型277

7.2.8 带随机抵达的Variance Gamma模型277

7.2.9 Lévy过程281

7.3 利率模型282

7.3.1 短期利率模型285

7.3.1.1 Vasicek模型285

7.3.1.2 Vasicek模型下的价格互换287

7.3.1.3 替代的Vasicek模型校准288

7.3.1.4 CIR模型289

7.3.1.5 CIR模型下的价格互换292

7.3.1.6 替代的CIR模型校准293

7.3.1.7 Ho-Lee模型294

7.3.1.8 Hull-White（扩展的Vasicek）模型297

7.3.2 多因子短期利率模型297

7.3.2.1 多因子Vasicek模型298

7.3.2.2 多因子CIR模型298

7.3.2.3 CIR双因子模型校准299

7.3.2.4 CIR双因子模型下的价格互换299

7.3.2.5 替代的CIR双因子模型校准300

7.3.2.6 发现302

7.3.3 仿射期限结构模型303

7.3.4 远期利率模型（HJM）304

7.3.4.1 HJM模型的时间离散306

7.3.4.2 因子结构选择307

7.3.5 LIBOR市场模型307

7.4 信用衍生品模型308

7.5 模型风险309

7.6 优化及优化方法312

7.6.1 网格搜索313

7.6.2 Nelder-Mead单纯形法314

7.6.3 遗传算法315

7.6.4 Davidson，Fletcher及Powell（DFP）方法316

7.6.5 Powell法316

7.6.6 对线性约束的输入应用去约束优化317

7.6.7 有限制条件问题的信任域方法318

7.6.8 期望最大化（EM）算法319

7.7 折现率曲线的构造319

7.7.1 LIBOR收益率320

7.7.1.1 单一利率的折现因子322

7.7.1.2 远期利率的折现因子322

7.7.1.3 互换利率的折现因子322

7.7.2 收益率曲线的构造323

7.7.2.1 曲线短端的构造323

7.7.2.2 曲线长端的构造325

7.7.3 折现率曲线构造的多项式样条方法326

7.7.3.1 Hermite差值法327

7.7.3.2 自然三次样条插值法328

7.7.3.3 张力样条插值法328

7.8 期权费的套利限制331

7.9 利率的定义331

习题333

案例分析333

8滤波及参数估计341

8.1 滤波343

8.1.1 p（xk|z1:k）的构造344

8.2 似然函数345

8.3 Kalman滤波351

8.3.1 资产模型351

8.3.2 Kalman最优增益条件下的协方差后验估计与Kalman最优增益的解释356

8.4 非线性滤波359

8.5 扩展的Kalman滤波359

8.6 无痕Kalman滤波362

8.6.1 预测362

8.6.2 校正363

8.6.3 无痕Kalman滤波（UKF）的实现364

8.7 平方根Kalman滤波（SR UKF）376

8.8 粒子滤波380

8.8.1 序列重要抽样（SIS）的粒子滤波381

8.8.2 抽样重要再抽样（SIR）的粒子滤波382

8.8.3 再抽样粒子滤波问题及可用的处理方法392

8.9 马尔可夫链蒙特卡罗（MCMC）393

习题394

参考目录395

索引409