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第1章 群论1

1.1 群的定义1

1.1.1 二元运算1

1.1.2 群的定义1

1.1.3 群的性质5

1.1.4 元素的阶7

1.2 子群12

1.2.1 子群的定义12

1.2.2 子群的性质15

1.2.3 中心化子16

1.2.4 由集合生成的子群16

1.2.5 子群的乘积21

1.2.6 子群的进一步思考23

1.3 置换群24

1.3.1 置换群的定义24

1.3.2 置换的性质26

1.4 陪集29

1.4.1 陪集的定义29

1.4.2 陪集的性质29

1.4.3 Lagrange定理31

1.4.4 Lagrange定理的应用32

1.5 正规子群35

1.5.1 正规子群的定义35

1.5.2 商群的定义38

1.5.3 正规子群的性质40

1.5.4 换位子群42

1.6 交错群45

1.6.1 交错群的性质45

1.6.2 单群的定义和例子46

1.7 群的同态47

1.7.1 群同态的基本概念47

1.7.2 群同态的性质48

1.7.3 同态和同构的定理52

1.7.4 变换群的定义53

1.7.5 Cayley定理54

1.8 群的直积54

1.8.1 群的内直积54

1.8.2 群的外直积55

1.9 有限生成的交换群的结构56

1.10 拓扑群57

1.10.1 拓扑的定义57

1.10.2 拓扑群的定义58

1.10.3 拓扑群的性质58

第2章 环和域62

2.1 基本概念62

2.1.1 环的定义62

2.1.2 环的性质68

2.1.3 零因子和整环70

2.1.4 可除环73

2.1.5 子环74

2.1.6 子环R［a］75

2.2 理想和商环76

2.2.1 理想的定义76

2.2.2 理想与子环的关系78

2.2.3 商环79

2.2.4 单环80

2.2.5 理想的性质81

2.2.6 主理想85

2.3 环的同态87

2.3.1 环同态的定义和性质87

2.3.2 环的同态和同构定理90

2.4 域92

2.4.1 域的定义92

2.4.2 域中的理想94

2.4.3 域的同态95

2.4.4 分式域95

2.4.5 极大理想96

2.4.6 环和域的特征98

2.4.7 素理想101

2.4.8 准素理想104

第3章 环上的多项式106

3.1 多项式106

3.1.1 多项式的定义106

3.1.2 多项式的运算106

3.1.3 多项式的性质107

3.2 带余除法109

3.2.1 带余除法109

3.2.2 整除的性质110

3.2.3 余数定理110

3.2.4 域上多项式环的任何理想都是主理想111

3.3 因式分解115

3.3.1 整除、相伴、素元和不可约元115

3.3.2 唯一因子分解环116

3.3.3 多项式的重因式122

3.4 本原多项式123

3.5 唯一因子分解环上的多项式124

3.6 非交换环上的多项式124

第4章 向量空间与模128

4.1 向量空间128

4.1.1 向量空间的定义128

4.1.2 向量空间的性质128

4.1.3 向量空间的子空间129

4.1.4 线性无关和基132

4.1.5 线性映射134

4.2 内积空间134

4.2.1 内积的定义134

4.2.2 正交和正交基135

4.3 模135

4.3.1 模的定义135

4.3.2 模的性质136

第5章 Sylow定理和可解群140

5.1 群作用140

5.1.1 群作用的定义140

5.1.2 群作用的轨道和稳定子群141

5.1.3 轨道的性质141

5.1.4 有限群的类方程142

5.1.5 p群的定义144

5.2 Sylow定理148

5.2.1 p-Sylow子群的定义148

5.2.2 Sylow定理149

5.2.3 Sylow定理的应用151

5.3 可解群161

5.3.1 合成群列的定义161

5.3.2 合成群列的性质163

5.3.3 可解群的定义163

5.3.4 可解群的性质165

第6章 域的扩张170

6.1 子域和扩域170

6.1.1 子域和扩域170

6.1.2 域的素子域和特征170

6.1.3 集合S在F上生成的子域171

6.1.4 单扩域171

6.1.5 域扩张的次数172

6.1.6 域扩张的次数公式173

6.2 代数扩张176

6.2.1 代数元和超越元176

6.2.2 极小多项式179

6.2.3 极小多项式的性质179

6.2.4 域的代数扩张181

6.2.5 代数扩张的传递性183

6.2.6 代数闭域183

6.3 Galois域和分裂域187

6.3.1 Galois域的定义187

6.3.2 Galois域的元素个数187

6.3.3 多项式的分裂域的定义188

6.3.4 多项式的分裂域的存在性和唯一性188

6.3.5 Galois域是其素子域的单扩域190

6.3.6 正规扩域190

6.4 方程的根式解191

6.4.1 Galois群191

6.4.2 Galois群的性质192

6.4.3 Galois群的阶192

6.4.4 n次多项式的Galois群193

参考文献196

索引197