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第一章 高等代数基础与空间解析几何初步1

1.1 直角坐标系1

一 平面直角坐标系1

二 空间直角坐标系2

1.1 矢量的合成与分解6

一 矢量的概念7

二 数乘矢量8

三 矢量的加减法8

四 矢量在轴上的投影10

五 矢量的分解12

一 矢量的标积19

1.3 矢量的乘积19

二 标积的坐标表示法21

三 矢量的矢积23

四 矢积的坐标表示法24

五 矢积的应用--力矩25

六 矢量的混合积29

1.4 复数及其表示法35

一 实数与复数35

二 复数的几何意义36

三 复数的三角式和指数式36

四 共轭复数38

一 复数的加减法39

1.5 复数的运算39

二 复数的乘除法40

三 复数的乘方和开方41

1.6 行列式的定义43

一 预备知识44

二 三阶行列式的定义45

三 n阶行列式的定义46

1.7 子行列式·代数余子式47

1.8 行列式的性质52

1.9 线性方程组64

一 基本概念64

二 克兰姆定理67

三 线性齐次方程组69

1.10 消元法解线性方程组75

1.11 平面与空间直线85

一 平面方程86

二 空间的直线方程92

1.12 二次曲面99

一 曲面方程与空间曲线方程99

二 椭球面·球面102

三 柱面104

四 锥面·旋转曲面106

五 椭圆抛物面108

六 双曲面109

第二章 一元函数的微分学113

一 实数的基本性质113

二 数列的极限118

2.1 极限与连续123

三 函数的极限139

四 连续函数的概念及其重要性质165

五 初等函数176

2.2 导数与微分183

一 导数与微分的概念183

二 微分法则194

三 高阶导数210

2.3 微分学的基本定理219

一 中值定理219

二 泰勒定理230

2.4 导数的应用253

一 函数的增减与极值253

二 函数的凸性与拐点266

三 曲线的概形271

四 待定式的极限275

第三章 一元函数的积分学282

3.1 不定积分282

一 不定积分282

二 换元积分法287

三 换元积分法(续)296

四 分部积分法301

五 有理函数的积分法305

六 无理函数的积分312

七 超越函数的积分319

3.2 定积分330

一 定积分的定义330

二 微积分学的基本公式--牛-莱公式335

三 定积分的基本性质339

四 定积分的换元法与分部积分法347

五 广义积分359

一 元素法·平面图形的面积368

3.3 定积分的应用368

二 旋转体的体积·平行截面面积为已知的立体的体积377

三 平面曲线的弧长与旋转面的表面积383

第四章 无穷级数390

4.1 级数的概念与性质390

一 无穷级数的概念390

二 无穷级数的基本性质与收敛条件392

4.2 级数收敛性的判断397

一 正项级数397

二 绝对收敛级数402

三 交错级数404

4.3 幂级数的收敛半径406

4.4 幂级数的运算409

一 代数运算409

二 幂级数的微分与积分410

4.5 泰勒级数412

4.6 初等函数的泰勒展开415

一 直接方法415

二 间接方法417

4.7 三角级数420

4.8 傅里叶级数422

一 周期函数的傅里叶级数422

二 傅里叶级数的收敛问题425

三 奇函数和偶函数的傅里叶级数428

四 定义在有限区间上的函数的傅里叶级数430

4.9 复数形式的傅里叶级数432

第五章 微分方程初步436

5.1 微分方程的概念436

5.2 一阶常微分方程438

一 可分离变量的一阶常微分方程438

二 一阶线性常微分方程441

5.3 常系数二阶线性齐次方程447

5.4 常系数二阶线性非齐次方程453

5.5 一维振动462

一 简谐振动463

二 阻尼振动465

三 强迫振动468

5.6 微分方程的幂级数解法举例471

第六章 多元函数的微分法474

6.1 二元函数的极限与连续474

6.2 偏导数与全微分481

一 定义与举例481

二 复合函数的微分法495

6.3 偏导数的应用504

一 空间曲线的切线与法平面·曲面的切平面与法线504

二 二元函数的泰勒展开512

三 隐函数516

四 极值525

第七章 重积分539

7.1 二重积分539

一 二重积分的定义539

二 二重积分的计算544

三 二重积分的计算(续)--二重积分中的变数代换552

四 二重积分的应用566

7.2 三重积分571

一 三重积分的定义与计算571

二 三重积分中的变数代换·柱坐标·球坐标578

三 三重积分的力学应用586

一 第一型曲线积分的定义591

第八章 曲线积分与曲面积分591

8.1 第一型曲线积分的概念与计算591

二 第一型曲线积分的计算594

8.2 第二型曲线积分的概念与计算601

一 第二型曲线积分的定义601

二 第二型曲线积分的计算603

8.3 格林公式及其应用611

一 格林公式611

二 平面上曲线积分与路径无关的条件620

8.4 第一型曲面积分628

一 第一型曲面积分的概念628

二 第一型曲面积分的计算629

三 第一型曲面积分的计算(续)637

8.5 第二型曲面积分646

一 第二型曲面积分的定义646

二 第二型曲面积分的计算652

8.6 高斯公式659

8.7 斯托克司公式666

第九章 矢量分析673

9.1 矢量对标量的导数和积分673

一 矢量对标量的导数673

二 矢量对标量的积分680

二 标量场的等值面与梯度681

一 标量场681

9.2 标量场·等值面·梯度681

9.3 矢量场·流线·环量·通量689

一 矢量场·流线689

二 矢量的曲线积分·环量691

三 矢量场的通量694

9.4 矢量场的散度·高斯公式697

9.5 矢量场的旋度703

9.6 矢量场的分类708

一 有散场和无散场708

二 有旋场和无旋场709

三 谐和场712

四 一般矢量场的分解713

附录714

一 代数714

二 三角720

三 几何723

四 导数和微分735

五 不定积分737

六 定积分755

七 Г函数(欧勒积分)757

八 初等函数的幂级数展开式758

九 重要平面曲线761