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第1章 矩阵的相似变换1

1.1 特征值与特征向量1

1.2 相似对角化5

1.3 Jordan标准形介绍9

1.4 Hamilton-Cayley定理19

1.5 向量的内积22

1.6 酉相似下的标准形27

习题133

第2章 范数理论36

2.1 向量范数36

2.2 矩阵范数42

2.2.1 方阵的范数42

2.2.2 与向量范数的相容性44

2.2.3 从属范数45

2.2.4 长方阵的范数49

2.3 范数应用举例50

2.3.1 矩阵的谱半径50

2.3.2 矩阵的条件数52

习题254

第3章 矩阵分析56

3.1 矩阵序列56

3.2 矩阵级数58

3.3 矩阵函数64

3.3.1 矩阵函数的定义64

3.3.2 矩阵函数值的计算65

3.3.3 常用矩阵函数的性质72

3.4 矩阵的微分和积分74

3.4.1 函数矩阵的微分和积分74

3.4.2 数量函数对矩阵变量的导数76

3.4.3 矩阵值函数对矩阵变量的导数78

3.5 矩阵分析应用举例80

3.5.1 求解一阶线性常系数微分方程组80

3.5.2 求解矩阵方程82

3.5.3 最小二乘问题83

习题385

第4章 矩阵分解87

4.1 矩阵的三角分解87

4.1.1 三角分解及其存在惟一性问题87

4.1.2 三角分解的紧凑计算格式90

4.2 矩阵的QR分解94

4.2.1 Householder矩阵与Givens矩阵94

4.2.2 矩阵的QR分解100

4.2.3 矩阵酉相似于Hessenberg矩阵105

4.3 矩阵的满秩分解108

4.3.1 Hermite标准形108

4.3.2 矩阵的满秩分解112

4.4 矩阵的奇异值分解114

习题4118

第5章 特征值的估计与表示120

5.1 特征值界的估计120

5.2.1 Gerschgorin定理123

5.2 特征值的包含区域123

5.2.2 特征值的隔离126

5.2.3 Ostrowski定理127

5.3 Hermite矩阵特征值的表示132

5.4 广义特征值问题135

5.4.1 广义特征值问题135

5.4.2 广义特征值的表示137

习题5140

第6章 广义逆矩阵141

6.1 广义逆矩阵的概念141

6.2 {1}逆及其应用142

6.2.1 {1}逆的计算及有关性质142

6.2.2 {1}逆的应用145

6.2.3 由{1}逆构造其他的广义逆矩阵147

6.3 Moore-Penrose逆A+148

6.3.1 A+的计算及有关性质148

6.3.2 A+在解线性方程组中的应用150

习题6154

第7章 矩阵的直积155

7.1 直积的定义和性质155

7.2 直积的应用158

7.2.1 矩阵的拉直及其与直积的关系158

7.2.2 线性矩阵方程的可解性及其求解159

习题7162

8.1 数域与映射164

第8章 线性空间与线性变换164

8.2 线性空间的定义与基本性质166

8.3 基、维数与坐标169

8.3.1 基与维数169

8.3.2 坐标170

8.3.3 基变换与坐标变换公式172

8.4 线性子空间175

8.4.1 子空间的概念175

8.4.2 子空间的交与和、直和178

8.5 线性变换182

8.5.1 线性变换及其基本性质182

8.5.2 线性变换的运算184

8.5.3 线性变换的值域与核187

8.6 线性变换的矩阵表示189

8.6.1 线性变换的矩阵189

8.6.2 线性变换矩阵的化简193

8.6.3 不变子空间196

8.7 欧氏空间198

8.7.1 欧氏空间的概念198

8.7.2 标准正交基203

8.7.3 正交子空间206

8.7.4 正交变换与对称变换208

8.7.5 酉空间介绍212

习题8213

习题解答与提示217

参考文献249