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第一部分 解三次和四次多项式方程的故事3

第一章 一次和二次方程的求解3

1.1一次方程的求解与数集的扩张3

1.2二次方程的求解与根式可解3

第二章 求解三次方程的故事5

2.1波洛那的费尔洛5

2.2菲俄与塔尔塔里亚6

2.3卡丹与费拉里7

第三章 三次方程和四次方程的根式求解9

3.1三次方程的根式求解9

3.2赫德方法的数学背景10

3.3四次方程的根式求解11

第二部分 向五次方程进军15

第四章 有关方程的一些理论15

4.1韦达与根和系数的关系15

4.2牛顿与牛顿定理16

4.3欧拉与复数18

4.4 1的根18

第五章 范德蒙与他的“根的对称式表达”方法20

5.1范德蒙与范德蒙方法20

5.2用范德蒙方法解三次方程21

第六章 拉格朗日与他的预解式方法23

6.1拉格朗日与他的预解式23

6.2用拉格朗日方法解三次方程24

6.3用拉格朗日方法解四次方程24

6.4 n=5时的情况25

第七章 高斯与代数基本定理27

7.1高斯与代数基本定理27

7.2分圆方程与它的根式求解27

7.3开方运算的多值性与卡丹公式28

第八章 鲁菲尼、阿贝尔与伽罗瓦30

8.1被人遗忘的鲁菲尼30

8.2死于贫穷的阿贝尔30

8.3死于愚蠢的伽罗瓦31

第三部分 一些数学基础35

第九章 集合与映射35

9.1集合论中的一些基本概念35

9.2集合间的映射35

9.3集合A中的变换36

9.4关系、等价关系与分类37

9.5整数集合Z与同余关系38

9.6算术基本定理与欧拉函数？（n）38

第十章 群论基础40

10.1群的定义40

10.2群与对称性41

10.3对称群Sn41

10.4子群与陪集42

10.5正规子群与商群43

10.6循环群与n次本原根44

10.7单群45

10.8群的同态映射与同构映射46

第十一章 数与代数系48

11.1自然数集N作为可换半群及其可数性48

11.2整数集合Z与整环48

11.3域与有理数域Q49

11.4实数域R的不可数性50

11.5复数域C与子域50

第十二章 域上的向量空间52

12.1向量空间的定义52

12.2向量空间的一些基础理论52

12.3数域作为向量空间53

第十三章 域上的多项式54

13.1一些基本事项54

13.2多项式的可约性与艾森斯坦定理54

13.3关于三次方程根的一些定理55

第四部分 扩域理论59

第十四章 有限扩域59

14.1扩域作为向量空间59

14.2维数公式59

第十五章 代数数与超越数61

15.1代数元与代数数61

15.2代数数集A是可数的62

15.3超越数的存在62

15.4代数扩域63

第十六章 单代数扩域64

16.1最小多项式64

16.2单代数扩域64

16.3单代数扩域的性质65

16.4添加2个代数元的情况66

16.5有限个代数元的添加与单扩域67

16.6代数数集A是域67

16.7 m型纯扩域与根式塔68

第五部分 尺规作图问题71

第十七章 尺规作图概述71

17.1尺规作图的出发点、操作公理与作图法则71

17.2最大可作数域K72

17.3 Q的可作扩域72

第十八章 尺规不可作问题74

18.1存在不可作数74

18.2立方倍积、三等分任意角与化圆为方75

第十九章正n边形的尺规作图76

19.1把正n边形的可作性归结为一些简单的情况76

19.2有关Pvjj边形的两个域列77

19.3分圆多项式78

19.4数Pvjj应满足的必要条件79

19.5对具有p=2m+1形式的奇素数的讨论79

19.6费马数79

19.7作出正n边形的“充要条件”80

第六部分 两类重要的群与一类重要的扩域83

第二十章 对称群Sn83

20.1循环与对换83

20.2置换的奇偶性84

20.3 Sn中元素的对称类与其对换乘积表示85

20.4交代群An的性质85

20.5 A5是单群86

20.6可迁群87

第二十一章 可解群89

21.1可解群的定义89

21.2可解群的性质89

21.3 n≥5时，Sn是不可解群90

第二十二章 正规扩域92

22.1多项式的基域与根域92

22.2正规扩域93

22.3正规扩域的性质93

第七部分 伽罗瓦理论97

第二十三章 从域得到群97

23.1域E的自同构群97

23.2 E作为F扩域时的一类特殊自同构群98

23.3正规扩域时的伽罗瓦群98

23.4伽罗瓦群的一些重要性质99

23.5域F上方程的伽罗瓦群99

23.6域F上的一般的n次多项式方程101

第二十四章 伽罗瓦理论的基本定理102

24.1 伽罗瓦对应102

24.2伽罗瓦理论的基本定理103

第八部分 伽罗瓦理论的应用109

第二十五章 多项式方程的根式可解问题109

25.1一些特殊的伽罗瓦群109

25.2根式可解的数学含义110

25.3根式扩域与根式可解的精确数学定义110

25.4循环扩域与拉格朗日预解式111

25.5多项式方程根式可解的必要条件113

25.6 2x5-10x+5=0不可根式求解115

25.7多项式方程根式可解的充分条件116

25.8用伽罗瓦理论解三次方程118

第二十六章 三次实系数不可约方程有3个实根时的“不可简化情况”120

26.1从判别式看根的情况120

26.2不可简化情况120

26.3根域的表达120

26.4 xp-a=0， a ∈R型方程121

26.5实根要通过复数得到122

第二十七章正n边形尺规作图的充分条件124

27.1正n边形尺规作图必要条件的回顾与充分条件的提出124

27.2 p群的一个定理124

27.3正n边形尺规作图的充分条件125

27.4作正17边形的高斯方法125

27.5从伽罗瓦理论看正17边形的尺规作图127

第二十八章 对称多项式的牛顿定理129

28.1一个引理129

28.2牛顿定理129

附录133

附录1关于两个正整数最大公因数的一个关系式133

附录2多项式方程的重根问题134

附录3计算三次方程的判别式D136

参考文献137