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专题一 数学史选讲1

第1节 球体积公式的发现和证明1

1.1中算家对球体积的探求1

1.2古希腊学者对球体积公式的发现与证明4

1.3球体积计算研究的启示7

第2节 几何证题和几何解题——东西方几何研究传统的启示13

2.1几何证题方式的演变14

2.2几何解题的渊源及思想方法15

2.3几何证题与几何解题的启示18

第3节 中国古代数学瑰宝18

3.1《九章算术》中的数学18

3.2中国古代数学家介绍19

第4节 近代数学两巨星——欧拉和高斯22

4.1 18世纪的数学英雄——欧拉22

4.2数学家之王——高斯23

参考文献24

习题25

专题小结26

附录：《普通高中数学课程标准（实验）》系列3-1：数学史选讲28

专题二 信息安全与密码30

第1节 保密通讯的基本常识30

1.1保密通信30

1.2两点说明32

第2节 古典密码体制34

2.1凯撒（Caesar）密码体制34

2.2维吉尼亚（Vigenere）密码体制36

2.3流密码体制—M序列37

第3节 公钥密码体制39

3.1公钥体制的思想39

3.2 RSA公钥方案40

3.3离散对数方案43

3.4数论知识选讲44

第4节 密钥管理45

4.1密钥管理45

4.2量子计算机和量子密码46

阅读材料 密码学的发展史48

参考文献49

习题50

专题小结51

附录：《普通高中数学课程标准（实验）》系列3-2：信息安全与密码53

专题三 球面上的几何54

第1节 球面几何概述54

1.1球面几何和球面三角学54

1.2球面几何学的发展历程55

1.3球面上的一些基本图形56

阅读材料 三角学简介58

第2节 球面三角形的性质59

2.1球面三角形的全等定理59

2.2球面三角形的面积公式60

2.3球面余弦定理和勾股定理、正弦定理61

2.4球面三角形的其他性质64

2.5球面几何和平面几何的比较65

阅读材料 大球面上的三角公式与平面三角公式66

第3节 球面几何的应用68

3.1利用球面多边形面积公式证明欧拉公式68

3.2球面上点的确定69

3.3实际应用一例—如何确定航线？70

第4节 非欧几何模型71

4.1非欧几何的诞生71

4.2非欧几何的球面模型73

4.3非欧几何的庞加莱模型74

参考文献76

习题77

专题小结78

附录：《普通高中数学课程标准（实验）》系列3-3：球面上的几何80

专题四 对称与群82

第1节 图形的对称性82

1.1平面图形对称性分类82

1.2刚体运动85

第2节 对称变换及变换的合成88

2.1变换的定义88

阅读材料 反演变换89

2.2变换的合成90

2.3对称变换的合成90

第3节 变换群与抽象群91

3.1图形的对称群91

3.2抽象群的概念93

阅读材料 群的来源95

3.3群的表示方法—乘法表法95

3.4构造复杂群的方法—直积法97

第4节 对称与群的应用98

4.1一元n次方程的根的对称多项式98

4.2 n元多项式的对称群101

4.3分子和晶体对称群102

阅读材料 伽罗瓦和高次方程的解法106

参考文献108

习题108

专题小结109

附录：《普通高中数学课程标准（实验）》系列3-4：对称与群111

专题五 欧拉公式与闭曲面分类113

第1节 拓扑变换与拓扑不变量113

1.1拓扑变换113

1.2几个最简单的拓扑不变量114

阅读材料 常见的初等几何变换117

第2节 多面体的欧拉公式118

2.1欧拉公式的发现118

2.2欧拉公式的证明119

2.3欧拉公式的应用121

第3节 闭曲面的分类124

3.1曲面和闭曲面的概念124

3.2曲面的三角剖分127

3.3曲面的欧拉示性数129

3.4闭曲面的分类129

阅读材料 闭曲面的分类130

第4节 拓扑思想的一些应用131

4.1哥尼斯堡七桥问题与一笔画问题131

4.2地图着色问题133

4.3布劳威尔不动点定理134

阅读材料 布劳威尔简介136

4.4平面布线问题137

参考文献138

习题138

专题小结139

附录：《普通高中数学课程标准（实验）》系列3-5：欧拉公式与闭曲面分类141

专题六 三等分角与数域扩充143

第1节 尺规作图问题143

1.1古希腊三大几何作图问题143

1.2尺规作图的范围144

阅读材料 揭开《三等分角问题》的神秘面纱147

第2节 尺规作图问题的代数化149

2.1历史沿革149

2.2数域扩充与几何作图149

2.3用代数方法讨论几何作图的预备知识151

第3节 三大几何作图问题的解153

3.1立方倍积问题153

3.2化圆为方问题153

3.3三等分角问题154

第4节 正多边形作图问题154

4.1正七边形不可作154

4.2正十七边形可用尺规作图155

参考文献157

习题157

专题小结158

附录：《普通高中数学课程标准（实验）》系列3-6：三等分角与数域扩充160

专题七 算法初步162

第1节 算法的起源162

1.1算法产生的历史背景和沿革162

1.2算法的发展及应用164

第2节 算法的基本知识165

2.1算法的概念165

2.2算法的特性166

2.3算法的表示166

2.4算法的构成要素169

2.5算法的性能分析170

第3节 基本算法的语句170

3.1 C语言语句170

3.2 MATLAB程序语句172

第4节 算法的应用及意义174

4.1古代数学的算法举例174

阅读材料 开方数与无理数177

4.2计算机的算法举例178

阅读材料 高斯（Causs）消去法181

4.3高中数学算法举例183

4.4学习算法的意义184

参考文献185

习题186

专题小结186

附录：《普通高中数学课程标准（实验）》必修课程数学3188

专题八 矩阵与变换191

第1节 矩阵的运算和变换191

1.1矩阵的概念191

1.2矩阵表示网络图193

1.3矩阵的运算与变换矩阵196

第2节 变换矩阵及变换的复合199

2.1几类重要的变换矩阵199

2.2复合变换205

第3节 矩阵与线性方程组207

3.1逆矩阵207

3.2行列式209

3.3用矩阵解线性方程组212

第4节 变换的不变量216

4.1特征值与特征向量216

4.2特征值和特征向量的应用217

阅读材料 足球联赛成绩排序的算法220

参考文献223

习题224

专题小结225

附录：《普通高中数学课程标准（实验）》系列4-2：矩阵与变换227

专题九 优选法与试验设计初步229

第1节 单因素问题的优选法（一）——0.618法、分数法、对分法229

1.1优选的数学模型与方法229

1.2黄金分割法230

1.3分数法233

1.4对分法237

第2节 单因素问题的优选法（二）——分批实验法、爬山法及多峰情况237

2.1分批实验法237

2.2爬山法240

2.3多峰情况240

第3节 双因素优选法241

3.1纵横对折法241

3.2从好点出发法242

3.3平行法243

第4节 正交试验设计244

4.1指标、因素、水平244

4.2正交表245

4.3用正交表安排试验246

4.4用正交表分析试验结果——极差分析248

参考文献251

习题251

专题小结253

附录一：分数法的证明254

附录二：常用正交表258

附录：《普通高中数学课程标准（实验）》系列4-7：优选法与试验设计初步260

专题十 统筹法与图论初步262

第1节 统筹法及其发展262

1.1统筹法及其发展263

1.2统筹法的基本概念264

第2节 统筹图的绘制265

2.1图的基本概念265

2.2统筹图的绘制方法267

第3节 关键路线（CP）的概念及其算法272

3.1关键路线的概念272

3.2顺序计算各结点最早可能开始时间，找出关键路线273

3.3反序计算各结点最迟必须开始时间274

3.4事项时间275

3.5工序时间277

3.6工序总时差（R）和单时差（r）的计算公式277

第4节 图论初步279

4.1图的实际背景279

4.2几个相关概念280

参考文献286

习题286

专题小结289

附录：《普通高中数学课程标准（实验）》系列4-8：统筹法与图论初步290

专题十一 风险与决策292

第1节 决策问题与决策分析292

1.1决策与决策分析292

1.2决策问题中的基本概念294

1.3确定型决策的条件296

1.4风险型决策的条件296

1.5不确定性决策方法297

第2节 风险型决策方法299

2.1风险型决策的期望值法299

2.2决策树方法300

2.3界差与最优方案的评定303

第3节 风险决策灵敏度分析与效用理论304

3.1灵敏度分析的意义304

3.2转折概率305

3.3效用理论305

第4节 马尔柯夫型决策与决策方法306

4.1马尔柯夫链307

4.2转移概率和转移概率矩阵308

4.3马尔柯夫型问题的决策方法309

阅读材料概率的解释——客观概率与主观概率312

参考文献313

习题313

专题小结315

附录：《普通高中数学课程标准（实验）》系列4-9：风险与决策317

专题十二 开关电路与布尔代数318

第1节 开关电路318

1.1开关的串联、并联及反演318

1.2电路状态及状态运算320

1.3电路函数与电路多项式320

第2节 命题演算321

2.1命题及逻辑联结词322

2.2命题公式及真值表324

2.3语句的形式化325

第3节 布尔代数与布尔多项式328

3.1布尔代数的定义与性质328

3.2布尔多项式及其化简329

3.3布尔函数及其标准形式330

3.4布尔函数的范式331

第4节 布尔代数及其应用333

4.1布尔代数在开关电路中的应用333

4.2布尔代数的发展历程336

4.3布尔代数的抽象定义及布尔代数举例337

参考文献338

习题339

专题小结340

附录：《普通高中数学课程标准（实验）》系列4-10：开关电路与布尔代数341

参考答案343