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第1章 绪论1

1.1 数值分析的内容与特点1

1.2 误差及有效数字2

1.2.1 误差的来源3

1.2.2 绝对误差、相对误差和有效数字4

1.2.3 有效数字5

1.2.4 计算机机器数系与浮点运算7

1.3 数值运算的误差估计8

1.4 数值计算的注意事项10

1.4.1 算法的数值稳定性10

1.4.2 计算中应注意的问题13

1.5 数值实验14

习题116

第2章 插值法17

2.1 多项式插值17

2.1.1 多项式插值问题的定义17

2.1.2 插值多项式的误差估计18

2.1.3 插值基函数19

2.2 拉格朗日多项式插值20

2.2.1 线性插值20

2.2.2 抛物线插值20

2.2.3 拉格朗日插值21

2.3 牛顿插值23

2.3.1 差商及其性质23

2.3.2 牛顿插值公式及其余项25

2.3.3 差分形式的牛顿插值公式26

2.4 埃尔米特插值28

2.4.1 低次埃尔米特插值多项式28

2.4.2 一般埃尔米特插值多项式30

2.4.3 误差估计31

2.5 分段低次插值32

2.5.1 高次多项式插值问题32

2.5.2 分段低次插值33

2.6 三次样条插值36

2.6.1 样条插值函数的概念36

2.6.2 三次样条插值函数的构造37

2.6.3 误差限与收敛性43

2.7 数值实验44

习题245

第3章 曲线拟合与函数逼近47

3.1 曲线拟合的最小二乘法47

3.2 最小二乘法的求法48

3.2.1 多项式拟合48

3.2.2 可化为线性拟合的非线性拟合50

3.2.3 正交多项式拟合的最小二乘法51

3.3 最佳平方逼近53

3.3.1 正交多项式53

3.3.2 最佳平方逼近55

3.4 数值实验57

习题358

第4章 线性方程组的数值解法60

4.1 高斯消去法60

4.2 选主元素的高斯消去法63

4.2.1 全主元素消去法64

4.2.2 列主元素消去法64

4.3 矩阵的三角分解法66

4.3.1 直接三角分解法66

4.3.2 解三对角方程组的追赶法71

4.4 平方根法与改进平方根法73

4.4.1 平方根法73

4.4.2 改进平方根法76

4.5 向量和矩阵的范数78

4.5.1 向量的范数78

4.5.2 矩阵的范数79

4.6 线性方程组的性态和解的误差分析81

4.7 解线性方程组的迭代法83

4.7.1 雅可比迭代法84

4.7.2 高斯-塞德尔迭代法85

4.7.3 超松弛迭代法87

4.8 迭代法的收敛性及误差估计88

4.8.1 迭代法的一般收敛条件88

4.8.2 误差估计91

4.9 共轭梯度法92

4.9.1 预备知识92

4.9.2 共轭梯度法求解过程93

4.10 数值实验95

习题497

第5章 数值积分与数值微分100

5.1 数值积分公式100

5.1.1 数值积分的基本概念100

5.1.2 插值型求积公式102

5.2 牛顿-科特斯公式104

5.2.1 牛顿-科特斯公式的导出104

5.2.2 牛顿-科特斯公式的代数精度106

5.2.3 牛顿-科特斯公式的余项107

5.3 复化求积公式109

5.3.1 复化梯形公式110

5.3.2 复化辛普森公式111

5.3.3 复化科特斯公式111

5.4 龙贝格求积公式113

5.4.1 梯形法的递推化113

5.4.2 龙贝格求积公式115

5.5 高斯型求积公式117

5.5.1 定义及性质117

5.5.2 常用高斯型求积公式120

5.6 数值微分123

5.6.1 差商代替微商123

5.6.2 插值型数值微分公式123

5.6.3 用三次样条函数求导数125

5.7 数值实验126

习题5127

第6章 非线性方程与方程组的数值解法130

6.1 二分法130

6.2 迭代法132

6.2.1 不动点迭代法132

6.2.2 迭代法的几何意义133

6.2.3 迭代法收敛的条件134

6.2.4 迭代法的收敛阶137

6.2.5 埃特金加速法138

6.3 牛顿法140

6.3.1 牛顿法公式及误差分析140

6.3.2 简化牛顿法与牛顿下山法142

6.4 弦割法144

6.5 非线性方程组的解法145

6.5.1 简单迭代法145

6.5.2 牛顿法147

6.6 数值实验148

习题6149

第7章 常微分方程初值问题的数值解法151

7.1 引言151

7.2 离散变量法152

7.3 欧拉法154

7.3.1 欧拉法原理154

7.3.2 隐式欧拉法155

7.3.3 改进的欧拉法157

7.4 龙格-库塔法159

7.4.1 龙格-库塔法的基本思想及一般形式159

7.4.2 龙格-库塔法的推导159

7.5 单步法的收敛性与稳定性163

7.5.1 相容性与收敛性163

7.5.2 稳定性164

7.6 线性多步法167

7.6.1 一般形式167

7.6.2 阿达姆斯方法169

7.7 方程组与高阶方程初值问题的数值解法171

7.7.1 一阶方程组的数值解法171

7.7.2 高阶方程的数值解法172

7.8 数值实验173

习题7175

第8章 矩阵特征值问题的数值方法177

8.1 特征值估计与扰动177

8.2 幂法与反幂法179

8.2.1 幂法原理180

8.2.2 反幂法183

8.3 幂法的加速方法185

8.3.1 埃特金加速法185

8.3.2 原点平移法186

8.4 雅可比方法188

8.5 数值实验192

习题8193

附录 MATLAB简介195

部分习题答案211

参考文献217