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第1章 集合与点集1

1.1 集合及其运算1

1.1.1 集合的基本概念1

1.1.2 集合的运算2

1.1.3 集的分解6

1.1.4 笛卡尔乘积集7

1.1.5 域8

1.1.6 集列的极限9

习题1.112

1.2 映射与基数14

1.2.1 映射的概念14

1.2.2 对等17

1.2.3 数的进位制简介18

1.2.4 伯恩斯坦定理21

1.2.5 有限集、无限集及基数22

习题1.223

阅读材料124

1.3 可数集合25

1.3.1 可数集的定义25

1.3.2 可数集的性质25

习题1.330

阅读材料230

1.4 不可数集合31

习题1.435

第2章 n维空间中的点集37

2.1 聚点、内点、边界点、Bolzano-Weierstrass定理39

习题2.142

2.2 开集、闭集与完备集44

2.2.1 稠密与疏朗44

2.2.2 开集、闭集44

2.2.3 开覆盖、紧集48

2.2.4 完备集49

2.2.5 Borel集52

2.2.6 点集上的连续函数53

习题2.254

2.3 一维开集、闭集、完备集的结构56

习题2.360

2.4 点集间的距离60

习题2.462

第3章 测度论63

3.1 开集的体积66

习题3.169

3.2 点集的外测度70

3.2.1 外测度的定义70

3.2.2 外测度的性质72

3.2.3 内测度76

习题3.276

3.3 可测集及测度77

3.3.1 可测集的定义77

3.3.2 可测集的运算79

3.3.3 可测集列的极限83

3.3.4 Lebesgue（勒贝格）可测集的结构85

3.3.5 勒贝格测度的平移、旋转不变性88

3.3.6 不可测集89

习题3.390

3.4 乘积空间93

习题3.498

第4章 可测函数99

4.1 可测函数的定义及其简单性质100

4.1.1 勒贝格可测函数的定义100

4.1.2 勒贝格可测函数的性质103

4.1.3 勒贝格可测函数列的极限106

4.1.4 复合函数的可测性110

习题4.1110

4.2 可测函数的逼近定理112

4.2.1 Egoroff（叶果洛夫）定理112

4.2.2 Lusin（鲁津）定理115

4.2.3 依测度收敛120

习题4.2124

第5章 积分理论127

5.1 非负函数的积分127

5.1.1 测度有限的集上有界可测函数的积分127

5.1.2 测度有限的集上一般函数的积分133

5.1.3 测度无限的集上的Lebesgue积分135

5.1.4 非负可测函数积分的几何意义135

5.1.5 积分的极限定理136

习题5.1138

5.2 可积函数140

习题5.2155

5.3 重积分与累次积分的关系158

5.3.1 非负广义实值可测函数情形158

5.3.2 可积函数情形160

习题5.3165

5.4 微分与不定积分166

5.4.1 单调函数167

5.4.2 有界变差函数175

5.4.3 绝对连续函数184

习题5.4191

第6章 Lp空间及抽象测度与积分194

6.1 Lp空间194

6.1.1 Lp空间的定义与不等式194

6.1.2 Lp空间的结构200

习题6.1205

6.2 L2内积空间207

6.2.1 内积正交系207

6.2.2 广义Fourier级数208

6.2.3 L2（E）中的线性无关组210

习题6.2213

6.3 抽象测度与积分214

6.3.1 集合环上的测度及扩张214

6.3.2 可测函数及其积分216

习题解析220

附录：各章知识点概要289

参考文献300