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篇要 微积分解题的四种思维定式1

第一篇 微积分6

第一章 函数·极限·连续6

1.1 函数6

一、函数的定义6

二、函数的定义域的求法7

三、函数的基本性质8

四、分段函数12

五、初等函数13

1.2 函数的极限及其连续性17

一、概念17

二、重要定理与公式19

1.3 极限的求法26

一、未定式的定值法26

二、类未定式30

三、数列的极限31

四、极限式中常数的确定（重点）36

五、杂例39

习题一42

第二章 导数与微分46

2.1 定义·定理·公式46

一、导数与微分的定义46

二、定理48

三、导数与微分的运算法则48

四、基本公式49

2.2 各类函数导数的求法49

一、复合函数微分法49

二、参数方程微分法50

三、隐函数微分法52

四、幂指函数微分法53

五、函数表达式为若干因子连乘积、乘方、开方或商形式的微分法53

六、分段函数微分法54

2.3 高阶导数55

一、定义与基本公式55

二、高阶导数的求法56

习题二59

第三章 不定积分62

3.1 不定积分的概念与性质62

一、不定积分的概念62

二、基本性质62

三、基本公式63

3.2 基本积分法64

一、第一换元积分法（也称凑微分法）64

二、第二换元积分法68

三、分部积分法72

3.3 各类函数积分的技巧及分析77

一、有理函数的积分77

二、简单无理函数的积分78

三、三角有理式的积分80

四、含有反三角函数的不定积分83

五、抽象函数的不定积分84

六、分段函数的不定积分85

习题三86

第四章 定积分及反常积分89

4.1 定积分性质及有关定理与公式89

一、基本性质89

二、定理与公式92

4.2 定积分的计算法96

一、牛顿—莱布尼茨公式96

二、定积分的换元积分法96

三、定积分的分部积分法98

4.3 特殊形式的定积分计算99

一、分段函数的积分99

二、被积函数带有绝对值符号的积分101

三、被积函数中含有“变限积分”的积分102

四、对称区间上的积分104

五、被积函数的分母为两项，而分子为其中一项的积分105

六、由三角有理式与其他初等函数通过四则或复合而成的函数的积分106

七、杂例107

4.4 定积分有关命题证明的技巧109

一、定积分等式的证明109

二、定积分不等式的证明117

习题四（1）123

4.5 反常积分125

一、基本概念125

二、题型归纳及思路提示126

习题四（2）127

第五章 中值定理的证明技巧128

5.1 连续函数在闭区间上的性质128

一、基本定理128

二、有关闭区间上连续函数的命题的证法128

习题五（1）130

5.2 微分中值定理及泰勒公式131

一、基本定理131

二、泰勒公式132

5.3 证题技巧分析135

一、欲证结论：至少存在一点ξ∈（a，b），使得f（n）（ξ）＝0的命题证法135

二、欲证结论：至少？一点ξ∈（a，b），使得f（n）（ξ）＝k（≠0）及其代数式的证法137

三、欲证结论：在（a，b）内至少？ξ，η，ξ≠η满足某种关系式的命题的证法142

习题五（2）143

第六章 一元微积分的应用144

6.1 导数的应用144

一、利用导数判别函数的单调增减性144

二、利用导数研究函数的极值与最值145

三、关于方程根的研究151

四、函数作图155

6.2 定积分的应用159

一、微元法及其应用159

二、平面图形的面积160

三、立体体积161

习题六162

第七章 多元函数微分学165

7.1 概念、定理与公式165

一、二元函数的定义165

二、二元函数的极限及连续性166

三、偏导数、全导数及全微分167

四、基本定理169

7.2 多元函数微分法171

一、简单显函数u＝f（x，y，z）的微分法171

二、复合函数微分法172

三、隐函数微分法175

7.3 多元函数的极值178

一、概念、定理与公式178

二、条件极值与无条件极值178

习题七182

第八章 二重积分184

8.1 概念·性质184

一、概念184

二、性质184

8.2 二重积分的解题技巧186

一、？f（x，y）dσ的解题程序186

二、直角坐标系中积分限的确定187

三、极坐标系中积分限的确定188

四、典型例题分析188

习题八200

第九章 无穷级数202

9.1 基本概念及其性质202

一、概念202

二、基本性质202

9.2 数项级数判敛法203

一、正项级数∞ ∑ n=1un，（un≥0）敛散性的判别法203

二、交错级数∞ ∑ n=1（-1）n-1un（un＞0）的判敛法207

三、任意项级数208

9.3 幂级数210

9.4 无穷级数求和216

一、幂级数函数求和216

二、数项级数求和219

习题九223

第十章 常微分方程及差分方程简介225

10.1 概念225

10.2 一阶微分方程225

一、变量可分离的微分方程225

二、齐次方程227

三、一阶线性微分方程228

10.3 二阶线性微分方程230

一、二阶线性微分方程解的结构定理230

二、二阶常系数线性齐次方程通解的求法231

三、二阶常系数线性非齐次方程特解的求法232

四、二阶常系数线性非齐次方程通解的求法236

10.4 差分方程238

一、基本概念238

二、一阶常系数线性差分方程的求解方法238

习题十241

第十一章 函数方程与不等式证明243

11.1 函数方程243

一、利用函数表示法与用何字母表示无关的“特性”求解方程243

二、利用极限求解函数方程243

三、利用导数的定义求解方程244

四、利用变上限积分的可导性求解方程245

五、利用连续函数的可积性及原函数的连续性求解246

六、利用解微分方程的方法求解f（x）246

11.2 不等式的证明247

一、利用微分中值定理（重点）247

二、利用函数的单调增减性（重点）249

三、利用函数的极值与最值250

四、利用函数图形的凹凸性252

五、杂例252

习题十一253

第十二章 微积分在经济中的应用256

12.1 一元微积分在经济中的应用256

一、概念与公式256

二、典型题例的解题思路分析257

12.2 二元微分学在经济中的应用262

习题十二263

篇要 线代的八种思维定式264

第二篇 线性代数268

第一章 行列式268

1.1 行列式的概念268

一、排列与逆序268

二、n阶行列式的定义269

1.2 性质、定理与公式270

一、行列式的基本性质270

二、行列式按行（列）展开定理273

三、重要公式与结论273

1.3 典型题型分析274

题型一 抽象行列式的计算274

题型二 低阶行列式的计算275

题型三 n阶行列式的计算277

1.4 杂例282

习题一284

第二章 矩阵286

2.1 矩阵的概念与运算286

一、矩阵的概念286

二、矩阵的运算286

2.2 逆矩阵289

一、逆矩阵的概念289

二、利用伴随矩阵求逆矩阵290

三、矩阵的初等变换与求逆291

四、分块矩阵及其求逆292

五、矩阵的秩及其求法292

2.3 典型题型分析292

题型一 求逆矩阵292

题型二 求矩阵的高次幂Am295

题型三 有关初等矩阵的命题297

题型四 解矩阵方程297

题型五 求矩阵的秩299

题型六 关于矩阵对称、反对称命题的证明301

题型七 关于方阵A可逆的证明301

题型八 与A的伴随阵A有关联的命题的征明302

题型九 关于矩阵秩的命题的证明304

习题二305

第三章 向量310

3.1 基本概念310

一、向量的概念与运算310

二、向量间的线性关系310

三、向量组的秩和矩阵的秩311

四、向量空间312

3.2 重要定理与公式314

3.3 典型题型分析315

题型一 讨论向量组的线性相关性315

题型二 有关向量组线性相关性命题的证明318

题型三 判定一个向量是否可由一组向量线性表示324

题型四 有关向量组线性表示命题的证明325

题型五 求向量组的极大线性无关组327

题型六 有关向量组或矩阵秩的计算与证明329

题型七 与向量空间有关的命题333

习题三335

第四章 线性方程组338

4.1 概念、性质、定理338

一、克莱姆法则338

二、线性方程组的基本概念338

三、线性方程组解的判定339

四、非齐次组Ax＝b与齐次组Ax＝0解的关系340

五、线性方程组解的性质340

六、线性方程组解的结构340

4.2 典型题型分析341

题型一 基本概念题（解的判定、性质、结构）341

题型二 含有参数的线性方程组解的讨论344

题型三 讨论两个方程组的公共解349

题型四 有关基础解系的证明351

题型五 综合题352

习题四357

第五章 特征值和特征向量361

5.1 概念及其性质361

一、矩阵的特征值和特征向量的概念361

二、特征值与特征向量的计算方法361

三、相似矩阵及其性质362

四、矩阵可相似对角化的充要条件362

五、对称矩阵及其性质362

5.2 重要公式与结论363

5.3 典型题型分析364

题型一 求数值矩阵的特征值与特征向量364

题型二 求抽象矩阵的特征值、特征向量365

题型三 特征值、特征向量的逆问题366

题型四 相似的判定及其逆问题368

题型五 判断A是否可对角化370

题型六 综合应用问题372

题型七 有关特征值、特征向量的证明题377

习题五379

第六章 二次型382

6.1 基本概念与定理382

一、二次型及其矩阵表示382

二、化二次型为标准型382

三、用正交变换法化二次型为标准形383

四、二次型和矩阵的正定性及其判别法383

6.2 典型题型分析386

题型一 考查二次型所对应的矩阵及其性质386

题型二 化二次型为标准形387

题型三 已知二次型通过正交变换化为标准形，反求参数390

题型四 有关二次型及其矩阵正定性的判定与证明392

习题六395

篇要 概率统计的九种思维定式397

第三篇 概率论与数理统计第一章 随机事件和概率402

1.1 基本概念、性质与公式402

一、随机试验和随机事件402

二、事件的关系及其运算402

三、事件的概率及其性质404

四、条件概率与事件的独立性405

五、重要概型407

六、重要公式407

1.2 典型题型分析408

题型一 古典概型与几何概型408

题型二 事件的关系和概率性质的命题411

题型三 条件概率与积事件概率的计算413

题型四 全概率公式与Bayes公式的命题414

题型五 有关Bernoulli概型的命题417

习题一419

第二章 随机变量及其分布422

2.1 基本概念、性质与公式422

一、概念与公式一览表422

二、重要的一维分布425

三、重要的二维分布427

2.2 典型题型分析428

题型一 一维随机变量及其分布的概念、性质的命题428

题型二 求一维随机变量的分布律、概率密度或分布函数431

题型三 求一维随机变量函数的分布435

题型四 二维随机变量及其分布的概念、性质的考查438

题型五 求二维随机变量的各种分布与随机变量独立性的讨论440

题型六 求两个或多个随机变量的简单函数的分布447

习题二451

第三章 随机变量的数字特征458

3.1 基本概念、性质与公式458

一、一维随机变量的数字特征458

二、二维随机变量的数字特征460

三、几种重要的数学期望与方差461

四、重要公式与结论462

3.2 典型题型分析462

题型一 求一维随机变量的数字特征462

题型二 求一维随机变量函数的数学期望466

题型三 求二维随机变量及其函数的数字特征469

题型四 有关数字特征的证明题479

题型五 应用题480

习题三482

第四章 大数定律和中心极限定理486

4.1 基本概念与定理486

一、切比雪夫不等式486

二、中心极限定理486

三、重要公式与结论487

四、注意487

4.2 典型题型分析488

题型一 有关切比雪夫不等式与大数定律的命题488

题型二 有关中心极限定理的命题489

习题四492

第五章 数理统计的基本概念493

5.1 基本概念、性质与公式493

一、几个基本概念493

二、三个抽样分布——x2分布、t分布与F分布494

三、正态总体下常用统计量的性质494

四、重要公式与结论495

5.2 典型题型分析496

题型一 求统计量的数字特征或取值的概率、样本的容量496

题型二 求统计量的分布498

习题五499

第六章 参数估计502

6.1 基本概念、性质与公式502

矩估计与最大似然估计502

6.2 典型题型分析503

求矩估计和最大似然估计503

习题六507